Номер 137, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

137. Сумма двух противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равна $15 \text{ см}$, а радиус вписанной в него окружности — $3 \text{ см}$. Найдите площадь данного четырехугольника.

Пусть стороны четырехугольника равны $a$, $b$, $c$ и $d$. Поскольку четырехугольник описан около окружности, он является тангенциальным (или описанным).

По условию, сумма двух противоположных сторон равна 15 см. Допустим, $a + c = 15$ см. Также дан радиус вписанной в него окружности $r = 3$ см.

Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема Пито, которая гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, $a + c = b + d$.

Из этого следует, что сумма двух других противоположных сторон также равна 15 см: $b + d = 15$ см.

Периметр $P$ четырехугольника — это сумма длин всех его сторон:

$P = a + b + c + d = (a + c) + (b + d) = 15 + 15 = 30$ см.

Площадь $S$ любого многоугольника, в который можно вписать окружность, находится по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр многоугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{P}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь вычислим площадь четырехугольника:

$S = p \cdot r = 15 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 45 \text{ см}^2$.

Ответ: 45 см$^2$.