номер 141, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

141. а) Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 4,5 см, острый угол ромба равен $30^\circ$. Найдите периметр ромба.

б) Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

а)

Высота ромба $h$, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$. По условию, радиус вписанной окружности $r = 4,5$ см, следовательно, высота ромба равна:

$h = 2 \cdot 4,5 = 9$ см.

Высота ромба связана с его стороной $a$ и острым углом $\alpha$ формулой $h = a \cdot \sin(\alpha)$. Из этой формулы можно выразить сторону ромба $a$. По условию, острый угол $\alpha = 30^\circ$.

$a = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{9}{\sin(30^\circ)}$

Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, поэтому:

$a = \frac{9}{1/2} = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Периметр ромба $P$ — это сумма длин четырех его равных сторон, то есть $P = 4a$.

$P = 4 \cdot 18 = 72$ см.

Ответ: 72 см.

б)

Площадь ромба $S$ можно найти по формуле через его диагонали $d_1 = 30$ см и $d_2 = 40$ см:

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{30 \cdot 40}{2} = \frac{1200}{2} = 600$ см$^2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников — это половины диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см. Гипотенуза этих треугольников является стороной ромба $a$.

По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$a^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$

$a = \sqrt{625} = 25$ см.

Площадь ромба также можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. Отсюда можно найти высоту:

$h = \frac{S}{a} = \frac{600}{25} = 24$ см.

Высота ромба, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$). Значит, радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты.

$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.