Номер 147, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

147. Докажите, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, если:

a) $\angle ABD = \angle ACD;$

б) $AO \cdot OC = BO \cdot OD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.

а)

Для того чтобы доказать, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, достаточно доказать, что все его четыре вершины лежат на одной окружности.

Рассмотрим три вершины четырехугольника, например, $A, C, D$. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Назовем эту окружность $ \omega $.

Докажем от противного. Предположим, что четвертая вершина $B$ не лежит на окружности $ \omega $.

Пусть прямая, содержащая отрезок $AB$, пересекает окружность $ \omega $ в точке $B'$, отличной от точки $A$.

Поскольку точки $A, B', C, D$ лежат на одной окружности $ \omega $, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$, равны. Следовательно, $ \angle AB'D = \angle ACD $.

По условию задачи дано, что $ \angle ABD = \angle ACD $.

Из двух последних равенств следует, что $ \angle ABD = \angle AB'D $.

Теперь рассмотрим треугольник $BDB'$. Точки $A, B, B'$ по построению лежат на одной прямой.

Возможны два случая расположения точек на этой прямой (если $ B \neq B' $):

1. Точка $B'$ лежит между $A$ и $B$.

2. Точка $B$ лежит между $A$ и $B'$.

В любом случае, в треугольнике $BDB'$ один из углов при вершинах $B$ или $B'$ (вдоль прямой $AB$) является внешним для другого. Например, если $B'$ между $A$ и $B$, то в $ \triangle BDB' $ угол $ \angle AB'D $ является внешним при вершине $B'$. По теореме о внешнем угле треугольника, $ \angle AB'D = \angle DBB' + \angle BDB' $. Но $ \angle DBB' $ это тот же угол, что и $ \angle ABD $. Таким образом, $ \angle AB'D = \angle ABD + \angle BDB' $. Так как мы установили, что $ \angle ABD = \angle AB'D $, то получаем $ \angle ABD = \angle ABD + \angle BDB' $, откуда $ \angle BDB' = 0 $.

Это означает, что точки $B, D, B'$ лежат на одной прямой. Так как точки $A, B, B'$ также лежат на одной прямой, то все точки $A, B, D$ лежат на одной прямой. Это противоречит тому, что $ABCD$ является четырехугольником.

Противоречие возникло из-за нашего предположения, что точка $B$ не лежит на окружности $ \omega $. Следовательно, наше предположение неверно, и точка $B$ должна совпадать с точкой $B'$, то есть лежать на окружности $ \omega $.

Таким образом, все четыре вершины $A, B, C, D$ лежат на одной окружности, а значит, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Пусть диагонали четырехугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи дано равенство: $ AO \cdot OC = BO \cdot OD $.

Перепишем это равенство в виде пропорции:

$ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} $

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOD $ и $ \triangle BOC $.

Углы $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $ равны, так как они являются вертикальными.

Сравним стороны, образующие эти углы, в данных треугольниках. Из пропорции $ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} $ видно, что две стороны одного треугольника ($AO, OD$ в $ \triangle AOD $) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($BO, OC$ в $ \triangle BOC $).

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $ \triangle AOD \sim \triangle BOC $.

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов. В частности, $ \angle OAD = \angle OBC $.

Это равенство можно записать как $ \angle CAD = \angle CBD $.

Углы $ \angle CAD $ и $ \angle CBD $ — это углы, под которыми отрезок $CD$ виден из вершин $A$ и $B$. Поскольку в (выпуклом) четырехугольнике вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$, и углы, под которыми они "видят" отрезок $CD$, равны, то по признаку вписанного четырехугольника все четыре точки $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

Таким образом, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.