Номер 152, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

152. а) В равнобедренную трапецию с основаниями 2 см и 8 см вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

б) Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, большее основание которой равно 18 см, боковая сторона – 13 см.

а)

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобедренной трапеции, $c$ — её боковая сторона, а $h$ — высота. По условию задачи дано: $a = 2$ см и $b = 8$ см.

По свойству четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны. Для равнобедренной трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: $a + b = 2c$.

Используя это свойство, найдём длину боковой стороны $c$:
$2 + 8 = 2c$
$10 = 2c$
$c = 5$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Чтобы найти площадь, необходимо определить высоту $h$. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Это образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, а катетами — высота $h$ и отрезок на большем основании, длина которого равна полуразности оснований: $\frac{b-a}{2}$.

Длина этого отрезка составляет:
$\frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Применим теорему Пифагора для нахождения высоты $h$:
$h^2 = c^2 - (\frac{b-a}{2})^2$
$h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
$h = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь можно вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{2 + 8}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см².

Ответ: 20 см².

б)

Пусть $a$ и $b$ — основания описанной равнобедренной трапеции, $c$ — её боковая сторона. Из условия известно, что большее основание $b = 18$ см, а боковая сторона $c = 13$ см.

Так как трапеция является описанной около окружности, сумма её оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = 2c$.

Используя это свойство, найдём длину меньшего основания $a$:
$a + 18 = 2 \cdot 13$
$a + 18 = 26$
$a = 26 - 18 = 8$ см.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$ необходимо найти её высоту $h$. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. В образовавшемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна боковой стороне $c = 13$ см, один из катетов — это высота $h$, а второй катет — отрезок, равный полуразности оснований $\frac{b-a}{2}$.

Вычислим длину этого катета:
$\frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора найдём высоту $h$:
$h^2 = c^2 - (\frac{b-a}{2})^2$
$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:
$S = \frac{8 + 18}{2} \cdot 12 = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см².

Ответ: 156 см².