Номер 150, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

150. В треугольник $ABC$, у которого $AB = 8$, вписана окружность. Касательная к окружности пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Периметр треугольника $MCK$ равен 12. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Касательная $MK$ ($M \in BC$, $K \in AC$) касается этой же окружности в точке $T$.

Рассмотрим периметр треугольника $MCK$, который по условию равен 12.

$P_{MCK} = MC + CK + KM$

Отрезок $KM$ является касательной к окружности, и его можно представить как сумму двух отрезков: $KM = KT + TM$.

$P_{MCK} = MC + CK + KT + TM$

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Длины таких отрезков касательных равны:

• Для точки $M$, лежащей на стороне $BC$: $MT = MQ$.
• Для точки $K$, лежащей на стороне $AC$: $KT = KR$.

Подставим эти равенства в формулу периметра треугольника $MCK$:

$P_{MCK} = MC + CK + KR + MQ$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{MCK} = (MC + MQ) + (CK + KR)$

Поскольку касательная $MK$ отсекает угол $C$ треугольника $ABC$, точка $M$ находится на отрезке $CQ$, а точка $K$ — на отрезке $CR$. Таким образом, отрезки $CQ$ и $CR$ можно выразить как:

$CQ = CM + MQ$

$CR = CK + KR$

Следовательно, периметр треугольника $MCK$ равен сумме длин отрезков $CQ$ и $CR$:

$P_{MCK} = CQ + CR$

Отрезки $CQ$ и $CR$ — это касательные, проведенные к окружности из одной вершины $C$, поэтому их длины равны: $CQ = CR$.

Таким образом, $P_{MCK} = 2 \cdot CQ = 2 \cdot CR$. Так как $P_{MCK} = 12$, то $CQ = CR = 12 / 2 = 6$.

Теперь найдем периметр треугольника $ABC$. Периметр $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Представим стороны $BC$ и $AC$ в виде сумм отрезков, на которые их делят точки касания:

$BC = BQ + QC$

$AC = AR + RC$

$P_{ABC} = AB + (BQ + QC) + (AR + RC)$

Используем свойство касательных, проведенных из вершин $A$ и $B$:

$AR = AP$

$BQ = BP$

Подставим эти равенства в формулу периметра $ABC$:

$P_{ABC} = AB + (BP + QC) + (AP + RC)$

Сгруппируем слагаемые $AP$ и $BP$:

$P_{ABC} = AB + (AP + BP) + QC + RC$

Сумма $AP + BP$ равна длине стороны $AB$: $AP + BP = AB$.

$P_{ABC} = AB + AB + QC + RC = 2 \cdot AB + (QC + RC)$

Мы уже установили, что $QC + RC = P_{MCK} = 12$. Длина стороны $AB$ дана по условию и равна 8. Подставим известные значения в формулу:

$P_{ABC} = 2 \cdot 8 + 12 = 16 + 12 = 28$

Ответ: 28.