Номер 146, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

146. Дана равнобедренная трапеция $ABCD$, $AB = CD = 6 \text{ см}$, $AD = 8 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$.

По условию дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Известны длины сторон: $AB = CD = 6$ см, $AD = 8$ см, $BC = 4$ см. $AK$ и $BK$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ соответственно, которые пересекаются в точке $K$.

1. Рассмотрим углы трапеции. Поскольку основания $AD$ и $BC$ параллельны, сумма углов при боковой стороне $AB$ равна $180^\circ$ (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$). Таким образом, $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как $AK$ и $BK$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, то $\angle KAB = \frac{1}{2}\angle DAB$ и $\angle KBA = \frac{1}{2}\angle ABC$.

3. Найдем сумму углов $\angle KAB$ и $\angle KBA$ в треугольнике $ABK$:

$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2}\angle DAB + \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC)$.

Подставив значение суммы углов $A$ и $B$, получаем:

$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4. Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$. Отсюда можно найти угол $\angle AKB$:

$\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Это означает, что треугольник $ABK$ является прямоугольным, а сторона $AB$ — его гипотенуза.

5. Чтобы найти длину катета $AK$, необходимо определить косинус прилежащего к нему угла $\angle KAB$. Для этого сначала найдем косинус угла $A$ всей трапеции.

6. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$, отсекаемого высотой на большем основании, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

7. Теперь в прямоугольном треугольнике $ABH$ (с прямым углом $H$) мы можем найти косинус угла $DAB$:

$\cos(\angle DAB) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

8. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $AK$ связан с гипотенузой $AB$ и углом $\angle KAB$ соотношением: $AK = AB \cdot \cos(\angle KAB)$.

Поскольку $AK$ - биссектриса, то $\angle KAB = \frac{1}{2}\angle DAB$. Следовательно, нам нужно найти $\cos(\frac{\angle DAB}{2})$.

9. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$. Применительно к нашему углу: $\cos(\angle DAB) = 2\cos^2(\frac{\angle DAB}{2}) - 1$.

Подставим известное значение $\cos(\angle DAB) = \frac{1}{3}$:

$\frac{1}{3} = 2\cos^2(\frac{\angle DAB}{2}) - 1$.

$2\cos^2(\frac{\angle DAB}{2}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

$\cos^2(\frac{\angle DAB}{2}) = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3}$.

Так как $\angle DAB$ — острый угол трапеции (его косинус положителен), то и угол $\frac{\angle DAB}{2}$ тоже острый, поэтому его косинус положителен.

$\cos(\frac{\angle DAB}{2}) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

10. Наконец, вычисляем длину отрезка $AK$:

$AK = AB \cdot \cos(\frac{\angle DAB}{2}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.