Номер 140, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

140. O — центр окружности, вписанной в четырехугольник $ABCD$, $\angle BAO = 32^\circ$, $\angle CDO = 24^\circ$. Найдите $\angle AOD$.

Поскольку точка $O$ является центром окружности, вписанной в четырехугольник $ABCD$, она представляет собой точку пересечения биссектрис углов этого четырехугольника.

Это означает, что отрезки, соединяющие центр $O$ с вершинами четырехугольника ($AO$, $BO$, $CO$, $DO$), являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Нам нужно найти угол $\angle AOD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому:

$\angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^{\circ}$

Так как $AO$ — биссектриса угла $\angle A$ (или $\angle DAB$), она делит его на два равных угла: $\angle OAD = \angle OAB$. В условии дано, что $\angle BAO = 32^{\circ}$, следовательно, $\angle OAD = 32^{\circ}$.

Аналогично, так как $DO$ — биссектриса угла $\angle D$ (или $\angle ADC$), она делит его на два равных угла: $\angle ODA = \angle ODC$. В условии дано, что $\angle CDO = 24^{\circ}$, следовательно, $\angle ODA = 24^{\circ}$.

Теперь мы можем подставить найденные значения углов в формулу для суммы углов треугольника $\triangle AOD$:

$\angle AOD + 32^{\circ} + 24^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle AOD + 56^{\circ} = 180^{\circ}$

Выразим $\angle AOD$:

$\angle AOD = 180^{\circ} - 56^{\circ}$

$\angle AOD = 124^{\circ}$

Ответ: $124^{\circ}$.