Номер 135, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

135. а) Периметр описанного четырехугольника $ABCD$ равен $48$ см. Найдите $BC + AD$.

б) В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если $AB + CD = 16$ см.

а)

Для любого описанного четырехугольника, то есть четырехугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство: суммы длин его противолежащих сторон равны. Для четырехугольника $ABCD$ это свойство записывается в виде равенства: $AB + CD = BC + AD$.

Периметр $P$ четырехугольника $ABCD$ — это сумма длин всех его сторон: $P = AB + BC + CD + AD$.

По условию, периметр равен 48 см. Мы можем сгруппировать слагаемые в формуле периметра следующим образом:

$P = (AB + CD) + (BC + AD)$.

Так как $AB + CD = BC + AD$, мы можем заменить сумму $(AB + CD)$ на $(BC + AD)$:

$P = (BC + AD) + (BC + AD) = 2 \cdot (BC + AD)$.

Теперь подставим известное значение периметра в полученное уравнение:

$48 = 2 \cdot (BC + AD)$.

Отсюда находим искомую сумму:

$BC + AD = \frac{48}{2} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

б)

Трапеция, в которую вписана окружность, является описанным четырехугольником. Поэтому для нее выполняется свойство равенства сумм противолежащих сторон. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ это свойство выглядит так:

$AB + CD = BC + AD$.

Из условия задачи нам известно, что сумма боковых сторон $AB + CD = 16$ см.

Следовательно, сумма оснований трапеции также равна 16 см:

$BC + AD = 16$ см.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, равна полусумме ее оснований. Формула для вычисления средней линии:

$m = \frac{BC + AD}{2}$.

Подставим найденное значение суммы оснований в эту формулу:

$m = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.