Номер 142, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

142. В равнобедренный треугольник $ABC$, у которого $AB = BC = 5$ см, $AC = 6$ см, вписана окружность. Касательная $MN$ параллельна $AC$ (рис. 137). Найдите периметр четырехугольника $AMNC$.

Puc. 137

Для нахождения периметра четырехугольника $AMNC$ необходимо найти сумму длин его сторон: $P_{AMNC} = AM + MN + NC + AC$.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB = BC = 5$ см и основанием $AC = 6$ см. Прямая $MN$ параллельна основанию $AC$ ($MN \parallel AC$). Это означает, что четырехугольник $AMNC$ — это трапеция. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то и углы при основании $AC$ трапеции $AMNC$ также равны, следовательно, трапеция является равнобокой, и ее боковые стороны равны: $AM = NC$.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $K$ — середина отрезка $AC$.

$AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Применим теорему Пифагора для нахождения длины высоты $BK$:

$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Далее найдем радиус $r$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Для этого нам понадобятся площадь $S$ и полупериметр $p$ треугольника $ABC$.

Полупериметр: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + 5 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

Радиус вписанной окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$:

$r = \frac{12}{8} = 1.5$ см.

Центр $O$ вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. В равнобедренном треугольнике высота $BK$ также является биссектрисой угла $B$, поэтому центр $O$ лежит на отрезке $BK$. Расстояние от центра вписанной окружности до ее касательных (сторон треугольника) равно радиусу. Таким образом, расстояние от точки $O$ до стороны $AC$ равно $r$, то есть $OK = r = 1.5$ см.

Касательная $MN$ параллельна стороне $AC$. Расстояние от центра $O$ до касательной $MN$ также равно радиусу $r$. Пусть высота $BK$ пересекает $MN$ в точке $H$. Тогда $OH = r = 1.5$ см. Точка $H$ является точкой касания $MN$ с окружностью.

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение их высот. Высотой в $\triangle MBN$ является отрезок $BH$. Найдем его длину. Точки $B, H, O, K$ лежат на одной прямой.

$BO = BK - OK = 4 - 1.5 = 2.5$ см.

$BH = BO - OH = 2.5 - 1.5 = 1$ см.

Теперь найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{BH}{BK} = \frac{1}{4}$.

Зная коэффициент подобия, мы можем найти длины сторон треугольника $MBN$:

$MN = k \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 6 = 1.5$ см.

$MB = k \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 5 = 1.25$ см.

Теперь найдем длины боковых сторон трапеции $AMNC$:

$AM = AB - MB = 5 - 1.25 = 3.75$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, $NC = AM = 3.75$ см.

Наконец, вычислим периметр трапеции $AMNC$, сложив длины всех ее сторон:

$P_{AMNC} = AM + MN + NC + AC = 3.75 + 1.5 + 3.75 + 6 = 7.5 + 1.5 + 6 = 9 + 6 = 15$ см.

Ответ: 15 см.