Номер 136, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

136. а) Около параллелограмма со сторонами 4 см и 5 см описана окружность. Найдите площадь этого параллелограмма.

б) В параллелограмм с периметром 48 см и острым углом $30^\circ$ вписана окружность. Найдите диаметр этой окружности.

а)

Известно, что окружность можно описать около четырехугольника только в том случае, если сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В параллелограмме противоположные углы равны. Обозначим углы параллелограмма как $\alpha$ и $\beta$. Тогда условие для описанной окружности принимает вид $\alpha + \alpha = 180^\circ$ и $\beta + \beta = 180^\circ$. Отсюда следует, что все углы параллелограмма равны $90^\circ$. Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Таким образом, данный параллелограмм — это прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его смежных сторон:

$S = a \cdot b = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$.
Ответ: 20 см².

б)

Окружность можно вписать в четырехугольник только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому условие для вписанной окружности выглядит как $a + a = b + b$, что означает $2a = 2b$, и, следовательно, $a=b$. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.

Периметр ромба равен $P = 4a$. По условию, $P = 48$ см.

Найдем сторону ромба: $4a = 48 \text{ см}$, откуда $a = 12 \text{ см}$.

Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте $h$. Высоту ромба можно найти по формуле $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — острый угол ромба.

По условию, острый угол равен $30^\circ$.

$h = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}$.

Диаметр окружности $d$ равен высоте ромба: $d = h = 6 \text{ см}$.
Ответ: 6 см.