Номер 134, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

134. В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. По данным на рисунках 136, а)—в) найдите длину отрезка, обозначенного знаком вопроса.

а) $BC = 5$

$CD = 10$

$AD = 12$

$AB = \text{?}$

б) $AB = 16$

$CD = 14$

$AK = 9,4$

$KD = 12,6$

$BC = \text{?}$

в) $AB = 15$

$AD = 8$

$CD = 10$

$MC = 6$

$BM = \text{?}$

Рис. 136

Для решения всех трех задач используется свойство описанного четырехугольника: суммы длин его противолежащих сторон равны. Если ABCD — описанный четырехугольник, то справедливо равенство (теорема Пито):

$AB + CD = BC + AD$

Также используется свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

а)

В четырехугольнике ABCD даны длины сторон: BC = 5, CD = 10 и AD = 12. Необходимо найти длину стороны AB.

Применим теорему Пито:

$AB + CD = BC + AD$

Подставим известные значения в формулу:

$AB + 10 = 5 + 12$

$AB + 10 = 17$

$AB = 17 - 10 = 7$

Ответ: 7.

б)

В четырехугольнике ABCD известны длины сторон AB = 16 и CD = 14. Точка касания K делит сторону AD на отрезки AK = 9,4 и KD = 12,6. Нужно найти длину стороны BC.

Пусть точки касания на сторонах AB, BC, CD, AD обозначены как P, Q, R, K соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной точки:
Длина отрезка от вершины A до точки касания на стороне AB равна длине отрезка от A до точки касания на AD: $AP = AK = 9,4$.
Аналогично для вершины D: $DR = DK = 12,6$.

Зная полную длину стороны AB, найдем длину отрезка PB:

$PB = AB - AP = 16 - 9,4 = 6,6$

По свойству касательных, $BQ = PB = 6,6$.

Зная полную длину стороны CD, найдем длину отрезка CR:

$CR = CD - DR = 14 - 12,6 = 1,4$

По свойству касательных, $CQ = CR = 1,4$.

Искомая сторона BC является суммой отрезков BQ и CQ:

$BC = BQ + CQ = 6,6 + 1,4 = 8$

Ответ: 8.

в)

В четырехугольнике ABCD известны длины сторон AB = 15, CD = 10, AD = 8. Точка касания M делит сторону BC на отрезки BM и MC = 6. Требуется найти длину отрезка BM.

Пусть точки касания на сторонах AB, BC, CD, DA будут P, M, Q, R соответственно. Обозначим искомую длину BM через x.

По свойству касательных, проведенных из одной точки:
$BP = BM = x$
$CQ = MC = 6$

Найдем длину отрезка DQ на стороне CD:

$DQ = CD - CQ = 10 - 6 = 4$

По свойству касательных, $DR = DQ = 4$.

Теперь найдем длину отрезка AR на стороне AD:

$AR = AD - DR = 8 - 4 = 4$

По свойству касательных, $AP = AR = 4$.

Рассмотрим сторону AB. Она состоит из отрезков AP и PB:

$AB = AP + PB$

Подставим известные значения:

$15 = 4 + x$

Отсюда находим x:

$x = 15 - 4 = 11$

Следовательно, длина отрезка BM равна 11.

Ответ: 11.