Номер 128, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

128. Центр окружности, описанной около четырехугольника $ABCD$, лежит на стороне $AD$. По данным на рисунках 134, а), б) найдите:

a) $\angle CAD$;

б) $\angle BCD$.

Рис. 134

а)

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$.
Из рисунка известно, что $\angle ABC = 121^\circ$. Подставим это значение:
$\angle ADC = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$.
По условию задачи, центр окружности лежит на стороне $AD$. Это означает, что $AD$ является диаметром окружности.
Вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым. Угол $\angle ACD$ опирается на диаметр $AD$, следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ADC$ имеем: $\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$.
Мы уже нашли, что $\angle ADC = 59^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$. Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти $\angle CAD$:
$\angle CAD + 59^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.
Ответ: $31^\circ$.

б)

Так как центр окружности лежит на стороне $AD$, то $AD$ является диаметром.
Вписанный угол $\angle ABD$ опирается на диаметр $AD$, поэтому он равен $90^\circ$.
Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Из рисунка нам известно, что $\angle BDA = 25^\circ$.
Следовательно, $\angle BAD = 90^\circ - \angle BDA$.
$\angle BAD = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, значит сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$.
Подставляя найденное значение $\angle BAD = 65^\circ$, мы можем найти искомый угол $\angle BCD$:
$65^\circ + \angle BCD = 180^\circ$
$\angle BCD = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.
Ответ: $115^\circ$.