Номер 129, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

129. a) $ABCD$ — вписанная трапеция $(AD \parallel BC)$, $\angle A = 68^\circ$. Найдите градусную меру дуги $ABC$.

б) $ABCD$ — вписанная трапеция, средняя линия которой равна 7 см, а боковая сторона — 6 см. Найдите периметр трапеции.

а)

Трапецию можно вписать в окружность только в том случае, если она является равнобедренной. У равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. Для трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ это означает, что углы при основании $AD$ равны ($\angle A = \angle D$) и углы при основании $BC$ равны ($\angle B = \angle C$).

Согласно условию, $\angle A = 68^\circ$. Так как трапеция равнобедренная, то $\angle D = \angle A = 68^\circ$.

Градусная мера вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle ADC$ (тот же, что и $\angle D$) является вписанным и опирается на дугу $ABC$.

Следовательно, градусная мера дуги $ABC$ в два раза больше величины угла $\angle D$:

$\text{Дуга } ABC = 2 \cdot \angle D$

Подставляя известное значение угла, получаем:

$\text{Дуга } ABC = 2 \cdot 68^\circ = 136^\circ$.

Ответ: $136^\circ$.

б)

Как уже упоминалось в пункте а), вписанная трапеция является равнобедренной. Это значит, что ее боковые стороны равны. По условию, длина боковой стороны равна 6 см, следовательно, обе боковые стороны ($AB$ и $CD$) равны по 6 см.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Поскольку $AB = CD = 6$ см, периметр можно записать как:

$P = 6 + BC + 6 + AD = 12 + (AD + BC)$.

Длина средней линии трапеции $m$ вычисляется как полусумма ее оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Из условия известно, что $m = 7$ см. Используя эту информацию, найдем сумму оснований:

$AD + BC = 2 \cdot m = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр, подставив найденную сумму оснований:

$P = 12 + 14 = 26$ см.

Ответ: 26 см.