Номер 132, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

132. По данным на рисунках 135, а), б) найдите площадь прямоугольника:

а) ABCD, если $AD = 8 \text{ см}$, $R = 5 \text{ см}$;

б) MNPK, если $MK : MN = 12:5$, $R = 13 \text{ см}$.

Рис. 135

а)

Для нахождения площади прямоугольника $ABCD$ необходимо найти длины его сторон. Площадь вычисляется по формуле $S_{ABCD} = AD \cdot CD$.

По условию, сторона $AD = 8$ см. Прямоугольник вписан в окружность с радиусом $R = 5$ см. Диагональ вписанного прямоугольника является диаметром описанной окружности. Найдем длину диагонали, например, $AC$.

$AC = 2R = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$, в котором угол $\angle ADC = 90^\circ$. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $AD^2 + CD^2 = AC^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$8^2 + CD^2 = 10^2$

$64 + CD^2 = 100$

$CD^2 = 100 - 64 = 36$

$CD = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольника:

$S_{ABCD} = AD \cdot CD = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.

б)

Площадь прямоугольника $MNPK$ вычисляется как произведение длин его смежных сторон, например $MN$ и $MK$ (судя по расположению вершин на рисунке). Формула площади: $S_{MNPK} = MN \cdot MK$.

По условию задачи дано соотношение сторон: $MK : MN = 12 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, где $x > 0$. Тогда длины сторон можно выразить как $MK = 12x$ и $MN = 5x$.

Прямоугольник вписан в окружность с радиусом $R = 13$ см. Диагональ прямоугольника, например $NK$, является диаметром этой окружности. Следовательно, её длина равна $NK = 2R = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $NMK$, в котором угол $\angle NMK = 90^\circ$. По теореме Пифагора, $MN^2 + MK^2 = NK^2$.

Подставим в это уравнение выражения для сторон через $x$ и длину диагонали:

$(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$

$25x^2 + 144x^2 = 676$

$169x^2 = 676$

$x^2 = \frac{676}{169} = 4$

$x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем фактические длины сторон прямоугольника:

$MN = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.

$MK = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Наконец, вычислим площадь прямоугольника:

$S_{MNPK} = MN \cdot MK = 10 \cdot 24 = 240$ см$^2$.

Ответ: $240 \text{ см}^2$.