Номер 138, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

138. а) Дана описанная прямоугольная трапеция ABCD ($\angle A = 90^\circ$), средняя линия ее равна 12,5, боковая сторона CD равна 13. Найдите основания трапеции.

б) Дана описанная равнобедренная трапеция с основаниями, равными 4 и 16. Найдите площадь этой трапеции.

а)

Пусть основания трапеции $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$. По условию $m = 12,5$, следовательно:

$\frac{a+b}{2} = 12,5$

$a+b = 2 \cdot 12,5 = 25$

Так как трапеция $ABCD$ описанная, то суммы ее противолежащих сторон равны. Для оснований $AD, BC$ и боковых сторон $AB, CD$ это свойство записывается как:

$AD + BC = AB + CD$

$a + b = AB + CD$

Мы уже нашли, что $a+b = 25$, а по условию боковая сторона $CD = 13$. Подставим эти значения в равенство:

$25 = AB + 13$

$AB = 25 - 13 = 12$

Трапеция $ABCD$ является прямоугольной с $\angle A = 90^\circ$. Это означает, что боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$, и ее длина является высотой трапеции $h$. Таким образом, $h = AB = 12$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:

1. Гипотенуза $CD = 13$ (по условию).

2. Катет $CH$ равен высоте трапеции, то есть $CH = AB = 12$.

3. Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = a - b$.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$ имеем:

$CH^2 + HD^2 = CD^2$

$12^2 + (a-b)^2 = 13^2$

$144 + (a-b)^2 = 169$

$(a-b)^2 = 169 - 144 = 25$

$a-b = \sqrt{25} = 5$ (так как $a$ — большее основание, разность $a-b$ положительна).

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b=25 \\ a-b=5 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(a+b) + (a-b) = 25 + 5$

$2a = 30$

$a = 15$

Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$15 + b = 25$

$b = 10$

Таким образом, основания трапеции равны 15 и 10.

Ответ: основания трапеции равны 15 и 10.

б)

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a = 16$ и $b = 4$. Пусть боковые стороны равны $c$.

Так как трапеция является описанной, суммы ее противолежащих сторон равны:

$a + b = c + c = 2c$

Подставим значения оснований:

$16 + 4 = 2c$

$20 = 2c$

$c = 10$

Таким образом, боковые стороны трапеции равны 10.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Найдем высоту $h$.

Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Они отсекут на большем основании отрезок, равный меньшему основанию, и два равных отрезка по краям. Длина каждого из этих отрезков равна полуразности оснований:

$\frac{a-b}{2} = \frac{16-4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (катет) и полученным отрезком на большем основании (второй катет). По теореме Пифагора:

$h^2 + 6^2 = c^2$

$h^2 + 36 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16+4}{2} \cdot 8 = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$

Ответ: площадь трапеции равна 80.