Номер 143, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

143. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основания $AD = 25 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, диагональ $AC = 20 \text{ см}$.

Найдите диаметр окружности, описанной около трапеции.

Поскольку окружность описана около равнобедренной трапеции ABCD, то эта же окружность описана и около треугольника ACD. Таким образом, радиус описанной окружности трапеции равен радиусу описанной окружности треугольника ACD. Найдем сначала все стороны этого треугольника.

В трапеции ABCD даны основания AD = 25 см, BC = 7 см и диагональ AC = 20 см.

1. Проведем из вершины C высоту CK на основание AD. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание вычисляется по формуле:

$KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

2. Найдем длину отрезка AK:

$AK = AD - KD = 25 - 9 = 16$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции CK:

$CK^2 = AC^2 - AK^2$

$CK^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$

$CK = \sqrt{144} = 12$ см.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CKD и найдем длину боковой стороны трапеции CD по теореме Пифагора:

$CD^2 = CK^2 + KD^2$

$CD^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

$CD = \sqrt{225} = 15$ см.

5. Мы нашли все стороны треугольника ACD: AC = 20 см, CD = 15 см, AD = 25 см. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:

$AC^2 + CD^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$

$AD^2 = 25^2 = 625$

Поскольку $AC^2 + CD^2 = AD^2$, треугольник ACD является прямоугольным с гипотенузой AD и прямым углом при вершине C.

6. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе. Так как окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ACD, ее диаметр равен гипотенузе AD.

Диаметр $D = AD = 25$ см.

Ответ: 25 см.