Номер 148, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

148. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $BN$, которые пересекаются в точке $I$. Известно, что точки $K$, $I$, $N$ и $C$ лежат на одной окружности. Найдите величину угла $C$.

Пусть в треугольнике $ABC$ углы при вершинах равны $\angle A, \angle B, \angle C$.

По условию, $AK$ и $BN$ — биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ соответственно. Точка их пересечения $I$ является инцентром (центром вписанной окружности) треугольника $ABC$.

Из определения биссектрисы следует, что $\angle IAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\angle B}{2}$. Точки $A, I, K$ лежат на одной прямой (биссектрисе угла $A$), и точки $B, I, N$ также лежат на одной прямой (биссектрисе угла $B$).

По условию задачи, точки $K, I, N, C$ лежат на одной окружности. Это значит, что четырехугольник $CINK$ является вписанным в окружность. Одно из ключевых свойств вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Рассмотрим пару противоположных углов: $\angle NCK$ и $\angle NIK$.

Угол $\angle NCK$ — это просто угол $\angle C$ треугольника $ABC$.

Угол $\angle NIK$ является вертикальным углу $\angle AIB$, так как они образованы пересечением прямых $AK$ и $BN$. Следовательно, $\angle NIK = \angle AIB$.

Таким образом, из свойства вписанного четырехугольника $CINK$ получаем равенство:

$\angle C + \angle NIK = 180^\circ$, или $\angle C + \angle AIB = 180^\circ$.

Теперь выразим величину угла $\angle AIB$ через углы треугольника $ABC$. Рассмотрим треугольник $AIB$. Сумма его углов равна $180^\circ$:

$\angle AIB = 180^\circ - (\angle IAB + \angle IBA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$.

Подставим полученное выражение для $\angle AIB$ в наше равенство:

$\angle C + \left(180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}\right) = 180^\circ$.

Вычитая $180^\circ$ из обеих частей, получаем:

$\angle C - \frac{\angle A + \angle B}{2} = 0$, что эквивалентно $\angle C = \frac{\angle A + \angle B}{2}$.

Также мы знаем, что сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда можно выразить сумму углов $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Подставим это выражение в полученное нами ранее уравнение:

$\angle C = \frac{180^\circ - \angle C}{2}$.

Решим это линейное уравнение относительно $\angle C$:

$2\angle C = 180^\circ - \angle C$

$3\angle C = 180^\circ$

$\angle C = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.