Номер 151, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

151. В треугольник со сторонами 7, 9 и 10 вписана окружность. К окружности проведена касательная, которая пересекает две меньшие стороны треугольника. Найдите периметр треугольника, отсеченного от данного этой касательной.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a=7$, $AC=b=9$ и $AB=c=10$. В этот треугольник вписана окружность.

Касательная к вписанной окружности пересекает две меньшие стороны треугольника. Меньшими сторонами являются $BC=7$ и $AC=9$. Следовательно, касательная отсекает от треугольника $ABC$ меньший треугольник у вершины $C$, где эти стороны пересекаются.

Обозначим отсеченный треугольник как $CMN$, где точка $M$ лежит на стороне $AC$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Периметр этого треугольника равен $P_{CMN} = CM + CN + MN$.

Пусть вписанная окружность касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Пусть отрезок $MN$ является касательной к этой же окружности в точке $K$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$ имеем две касательные к окружности: отрезок $MK$ и отрезок $ME$ (часть стороны $AC$). Следовательно, их длины равны: $MK = ME$.

Аналогично для точки $N$: отрезки касательных $NK$ и $ND$ (часть стороны $BC$) равны: $NK = ND$.

Длина стороны $MN$ отсеченного треугольника состоит из двух отрезков: $MN = MK + NK$. Заменяя их на равные отрезки, получаем: $MN = ME + ND$.

Теперь выразим периметр треугольника $CMN$:

$P_{CMN} = CM + CN + MN = CM + CN + (ME + ND)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{CMN} = (CM + ME) + (CN + ND)$

Поскольку касательная $MN$ отсекает треугольник у вершины $C$, точки $M$ и $N$ должны лежать на отрезках $CE$ и $CD$ соответственно. Следовательно, $CE = CM + ME$ и $CD = CN + ND$. Таким образом, периметр отсеченного треугольника равен:

$P_{CMN} = CE + CD$.

Длины отрезков касательных от вершин треугольника до точек касания с вписанной окружностью можно найти, используя полупериметр треугольника.

Полупериметр $s$ треугольника $ABC$ равен:

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+9+10}{2} = \frac{26}{2} = 13$.

Длины отрезков касательных от вершины $C$ до точек касания $D$ и $E$ вычисляются по формуле:

$CD = CE = s - c$, где $c$ — длина противолежащей стороны $AB$.

$CD = CE = 13 - 10 = 3$.

Подставляем найденные значения в формулу для периметра треугольника $CMN$:

$P_{CMN} = CE + CD = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.