Геометрия 3D, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

Многогранники (призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар) могут быть вписаны друг в друга.

Задание 1. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр так, что его основания вписаны в основания призмы (рис. 139, а). Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота цилиндра — 10 см. Найдите размеры призмы.

a)

б)

в)

Рис. 139

Задание 2. В конус вписана треугольная пирамида так, что ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 139, б). Найдите радиус основания конуса, если стороны основания пирамиды равны 10 см, 24 см, 26 см.

Задание 3. В цилиндр вписана правильная треугольная призма так, что основания призмы вписаны в основания цилиндра, а боковые ребра принадлежат боковой поверхности цилиндра (рис. 139, в). Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус основания цилиндра равен $2\sqrt{3}$ см, а его высота — 8 см.

Задание 1.

По условию, в правильную четырехугольную призму вписан цилиндр так, что его основания вписаны в основания призмы. Это означает, что в основании призмы лежит квадрат, а в этот квадрат вписана окружность, являющаяся основанием цилиндра. Высоты призмы и цилиндра совпадают.

Сторона квадрата, $a$, равна диаметру вписанной в него окружности, $d$. Диаметр, в свою очередь, равен двум радиусам, $d = 2r$.

Из условия известно, что радиус основания цилиндра $r = 4$ см. Найдем диаметр:

$d = 2 \times 4 = 8$ см.

Следовательно, сторона основания призмы (квадрата) равна $a = 8$ см.

Высота правильной призмы равна высоте вписанного в нее цилиндра. По условию, высота цилиндра равна 10 см, значит, высота призмы $h = 10$ см.

Размеры призмы — это сторона ее основания и высота.

Ответ: сторона основания призмы 8 см, высота призмы 10 см.

Задание 2.

В конус вписана треугольная пирамида, основание которой вписано в основание конуса. Это значит, что основание конуса — это круг, который является описанной окружностью для треугольника в основании пирамиды. Таким образом, радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

Стороны треугольника в основании пирамиды равны $a = 10$ см, $b = 24$ см и $c = 26$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью теоремы Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов должна быть равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$).

$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
$26^2 = 676$.

Поскольку равенство $10^2 + 24^2 = 26^2$ выполняется, треугольник является прямоугольным, где гипотенуза $c = 26$ см.

Для любого прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $R$ равен половине его гипотенузы.
$R = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Этот радиус и является радиусом основания конуса.

Ответ: радиус основания конуса равен 13 см.

Задание 3.

В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Это значит, что в основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, вершины которого лежат на окружности основания цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра является радиусом окружности, описанной около этого треугольника. Высота призмы равна высоте цилиндра.

Радиус основания цилиндра по условию $R = 2\sqrt{3}$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ связан с ней формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Выразим и найдем сторону треугольника $a$:
$a = R \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ находится как произведение периметра ее основания $P$ на высоту $h$: $S_{бок} = P \cdot h$.

Периметр равностороннего треугольника в основании:
$P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Высота призмы равна высоте цилиндра, то есть $h = 8$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = 18 \cdot 8 = 144$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 144 см².