номер 155, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

155. В прямоугольную трапецию, меньшее основание которой равно 4 см, вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь трапеции равна 48 $ \text{см}^2 $.

Обозначим прямоугольную трапецию как ABCD, где BC и AD — основания, а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота трапеции).

Дано:
Меньшее основание BC = $b = 4$ см.
Площадь трапеции S = 48 см².
В трапецию вписана окружность.

Найти:
Радиус вписанной окружности $r$.

Решение:

1. Если в трапецию можно вписать окружность, то ее высота $h$ равна диаметру вписанной окружности. В прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне, перпендикулярной основаниям.

Следовательно, $h = AB = 2r$.

2. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

Подставим известные значения и выражение для высоты $h=2r$ в формулу площади:

$48 = \frac{AD + 4}{2} \cdot 2r$

Упростим выражение:

$48 = (AD + 4) \cdot r$ (1)

3. Используем свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность: суммы длин его противоположных сторон равны.

$AB + CD = BC + AD$

Подставим известные нам выражения:

$2r + CD = 4 + AD$

Отсюда выразим боковую сторону CD:

$CD = AD - 2r + 4$

4. Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник CHD. В этом треугольнике:

• Гипотенуза — $CD$.
• Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, то есть $CH = 2r$.
• Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = AD - 4$.

По теореме Пифагора для треугольника CHD:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

Подставим выражения для сторон:

$(AD - 2r + 4)^2 = (2r)^2 + (AD - 4)^2$

Раскроем скобки. Левую часть раскроем как квадрат разности $((AD+4) - 2r)$:

$(AD+4)^2 - 2 \cdot (AD+4) \cdot 2r + (2r)^2 = (2r)^2 + (AD-4)^2$

Сократим $(2r)^2$ в обеих частях:

$(AD+4)^2 - 4r(AD+4) = (AD-4)^2$

$AD^2 + 8 \cdot AD + 16 - 4r(AD+4) = AD^2 - 8 \cdot AD + 16$

Сократим одинаковые слагаемые $AD^2$ и 16:

$8 \cdot AD - 4r(AD+4) = -8 \cdot AD$

$16 \cdot AD = 4r(AD+4)$

Разделим обе части на 4:

$4 \cdot AD = r(AD+4)$ (2)

5. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $AD$ и $r$:

• $48 = (AD + 4) \cdot r$
• $4 \cdot AD = (AD + 4) \cdot r$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$48 = 4 \cdot AD$

Отсюда находим большее основание $AD$:

$AD = \frac{48}{4} = 12$ см.

6. Подставим значение $AD=12$ в первое уравнение, чтобы найти радиус $r$:

$48 = (12 + 4) \cdot r$

$48 = 16 \cdot r$

$r = \frac{48}{16} = 3$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 3 см.