Номер 160, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

160. В треугольнике $ABC$ (рис. 145) $\angle B = 60^\circ$, биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $I$. Докажите, что около четырехугольника $C_1BA_1I$ можно описать окружность.

Рис. 145

Для доказательства того, что около четырехугольника $C_1BA_1I$ можно описать окружность, необходимо показать, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Это следует из свойства вписанного четырехугольника. Мы найдем и сложим углы $\angle C_1BA_1$ и $\angle C_1IA_1$.

Угол $\angle C_1BA_1$ является тем же углом, что и $\angle B$ в треугольнике $ABC$. По условию задачи, $\angle B = 60^\circ$. Следовательно, $\angle C_1BA_1 = 60^\circ$.

Теперь найдем величину угла $\angle C_1IA_1$. Точка $I$ — это точка пересечения биссектрис $AA_1$ и $CC_1$. Угол $\angle C_1IA_1$ и угол $\angle AIC$ являются вертикальными, поэтому они равны. Найдем $\angle AIC$.

Рассмотрим треугольник $AIC$. Его углы $\angle IAC$ и $\angle ICA$ являются половинами углов $\angle A$ и $\angle C$ треугольника $ABC$, так как $AI$ и $CI$ — биссектрисы.

$\angle IAC = \frac{1}{2}\angle A$, $\angle ICA = \frac{1}{2}\angle C$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B$.

Подставив значение $\angle B = 60^\circ$, получаем $\angle A + \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $AIC$ также равна $180^\circ$. Выразим угол $\angle AIC$:

$\angle AIC = 180^\circ - (\angle IAC + \angle ICA) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle C)$.

Подставим в это выражение сумму углов $\angle A + \angle C = 120^\circ$:

$\angle AIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Так как углы $\angle C_1IA_1$ и $\angle AIC$ вертикальные, то $\angle C_1IA_1 = \angle AIC = 120^\circ$.

Теперь найдем сумму противолежащих углов четырехугольника $C_1BA_1I$:

$\angle C_1BA_1 + \angle C_1IA_1 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника $C_1BA_1I$ равна $180^\circ$, то по признаку вписанного четырехугольника около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма противолежащих углов $\angle C_1BA_1$ и $\angle C_1IA_1$ четырехугольника $C_1BA_1I$ равна $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$, следовательно, около него можно описать окружность.