Номер 161, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

161. Пусть в треугольнике $ABC$ $\angle A = 40^\circ$. Найдите $\angle BO_A C$, где $O_A$ – центр вневписанной окружности треугольника, касающейся стороны $BC$.

Пусть $O_A$ — центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. По определению, центр вневписанной окружности является точкой пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника и биссектрисы одного внутреннего угла. В данном случае, точка $O_A$ является точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $BO_A C$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому:

$ \angle BO_A C + \angle O_A BC + \angle O_A CB = 180^\circ $

Найдем величины углов $\angle O_A BC$ и $\angle O_A CB$.

Луч $BO_A$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $B$. Внешний угол при вершине $B$ смежен с внутренним углом $\angle B$ и равен $180^\circ - \angle B$. Поскольку $BO_A$ — биссектриса, она делит этот угол пополам:

$ \angle O_A BC = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2} $

Аналогично, луч $CO_A$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $C$. Внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - \angle C$. Тогда:

$ \angle O_A CB = \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle C}{2} $

Теперь подставим найденные выражения для углов в формулу суммы углов треугольника $BO_A C$:

$ \angle BO_A C + \left(90^\circ - \frac{\angle B}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\angle C}{2}\right) = 180^\circ $

Упростим это уравнение:

$ \angle BO_A C + 180^\circ - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}\right) = 180^\circ $

$ \angle BO_A C = \frac{\angle B + \angle C}{2} $

Из суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда можно выразить сумму углов $\angle B + \angle C$:

$ \angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A $

Подставим это в полученную ранее формулу для $\angle BO_A C$:

$ \angle BO_A C = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2} $

По условию задачи $\angle A = 40^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$ \angle BO_A C = 90^\circ - \frac{40^\circ}{2} = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ $

Ответ: $70^\circ$.