номер 168, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

168. Докажите, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и высотой h, проведенной к гипотенузе, справедливо равенство

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и высотой $h$, проведенной к гипотенузе.

Площадь $S$ этого треугольника можно вычислить двумя способами. С одной стороны, она равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. С другой стороны, она равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, что равносильно $ab = ch$.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство, связывающее катеты и гипотенузу: $a^2 + b^2 = c^2$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}$

Используя теорему Пифагора, заменим в числителе сумму квадратов катетов $a^2 + b^2$ на квадрат гипотенузы $c^2$:

$\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \frac{c^2}{a^2b^2}$

Полученное выражение можно записать в виде квадрата дроби:

$\frac{c^2}{a^2b^2} = (\frac{c}{ab})^2$

Из ранее полученного соотношения $ab = ch$ выразим дробь $\frac{c}{ab}$. Для этого разделим обе части равенства на $h$ и на $ab$:

$\frac{ab}{abh} = \frac{ch}{abh} \implies \frac{1}{h} = \frac{c}{ab}$

Подставим $\frac{1}{h}$ в наше выражение:

$(\frac{c}{ab})^2 = (\frac{1}{h})^2 = \frac{1}{h^2}$

Таким образом, мы показали, что правая часть исходного равенства ($\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$) равна его левой части ($\frac{1}{h^2}$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ доказано.