Номер 169, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

169. Пусть $CH = h$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$, $r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $r_1$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $ACH$, $r_2$ — радиус окружности, вписанной в треугольник $BCH$.

а) Докажите, что $r_1 + r_2 + r = h$.

б) Найдите $r$, если $r_1 = 3, r_2 = 4$.

а)

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине $C$) катеты равны $AC=b$ и $BC=a$, а гипотенуза равна $AB=c$. Высота, проведенная к гипотенузе, есть $CH=h$.

Известно, что радиус $r'$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами $l_1$, $l_2$ и гипотенузой $h_y$ можно найти по формуле: $r' = \frac{l_1 + l_2 - h_y}{2}$.

Применим эту формулу для каждого из трех треугольников: $ABC$, $ACH$ и $BCH$.

1. Для треугольника $ABC$: катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$. Радиус вписанной окружности $r$ равен:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

2. Для треугольника $ACH$: он прямоугольный с прямым углом при вершине $H$. Катеты равны $AH$ и $CH=h$, гипотенуза $AC=b$. Радиус вписанной окружности $r_1$ равен:

$r_1 = \frac{AH + h - b}{2}$

3. Для треугольника $BCH$: он прямоугольный с прямым углом при вершине $H$. Катеты равны $BH$ и $CH=h$, гипотенуза $BC=a$. Радиус вписанной окружности $r_2$ равен:

$r_2 = \frac{BH + h - a}{2}$

Теперь найдем сумму этих трех радиусов:

$r_1 + r_2 + r = \frac{AH + h - b}{2} + \frac{BH + h - a}{2} + \frac{a + b - c}{2}$

Сложим дроби, объединив числители:

$r_1 + r_2 + r = \frac{(AH + BH) + (h + h) - b - a + a + b - c}{2}$

Упростим выражение в числителе. Так как точка $H$ лежит на отрезке $AB$, то $AH + BH = AB = c$.

$r_1 + r_2 + r = \frac{c + 2h - c}{2} = \frac{2h}{2} = h$

Таким образом, мы доказали, что $r_1 + r_2 + r = h$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Высота $CH$, проведенная из вершины прямого угла в треугольнике $ABC$, делит его на два меньших треугольника $ACH$ и $BCH$, которые подобны исходному треугольнику $ABC$ и подобны друг другу.

$\triangle ACH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC$

Отношение радиусов вписанных окружностей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

1. Рассмотрим подобие $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k_1$ равен отношению их гипотенуз: $k_1 = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}$.

Следовательно, отношение их радиусов вписанных окружностей также равно $k_1$:

$\frac{r_1}{r} = \frac{b}{c}$

2. Рассмотрим подобие $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k_2$ равен отношению их гипотенуз: $k_2 = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}$.

Следовательно, отношение их радиусов вписанных окружностей также равно $k_2$:

$\frac{r_2}{r} = \frac{a}{c}$

Из этих соотношений выразим $r_1$ и $r_2$ и возведем их в квадрат:

$r_1^2 = r^2 \left(\frac{b}{c}\right)^2 = r^2 \frac{b^2}{c^2}$
$r_2^2 = r^2 \left(\frac{a}{c}\right)^2 = r^2 \frac{a^2}{c^2}$

Сложим полученные равенства:

$r_1^2 + r_2^2 = r^2 \frac{b^2}{c^2} + r^2 \frac{a^2}{c^2} = r^2 \frac{a^2 + b^2}{c^2}$

Согласно теореме Пифагора для треугольника $ABC$, $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это в наше выражение:

$r_1^2 + r_2^2 = r^2 \frac{c^2}{c^2} = r^2$

Мы получили замечательное свойство: $r^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Теперь, используя данные из условия, $r_1 = 3$ и $r_2 = 4$, найдем $r$:

$r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$r = \sqrt{25} = 5$ (радиус является положительной величиной).

Ответ: $r=5$.