Номер 171, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

171. Докажите, что для радиуса $R$ описанной и радиуса $r$ вписанной окружностей треугольника справедливо неравенство $\frac{R}{r} \geq 2$.

Для доказательства данного неравенства, известного как неравенство Эйлера, воспользуемся формулами, связывающими радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$ с углами треугольника $A, B, C$.

Существует известная формула для радиуса вписанной окружности:

$r = 4R \sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right)$.

Из этой формулы выразим отношение $\frac{R}{r}$:

$\frac{R}{r} = \frac{1}{4 \sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right)}$.

Теперь задача сводится к доказательству того, что правая часть этого равенства не меньше 2. То есть, необходимо доказать неравенство:

$\frac{1}{4 \sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right)} \ge 2$.

Это неравенство равносильно следующему:

$1 \ge 8 \sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right)$,

или $\sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) \le \frac{1}{8}$.

Докажем последнее тригонометрическое неравенство. Воспользуемся формулой произведения синусов $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

Применим ее к первым двум сомножителям:

$\sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) - \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\right]$.

Поскольку сумма углов треугольника $A+B+C = \pi$, то $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$. Используя формулу приведения, получаем:

$\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \sin\left(\frac{C}{2}\right)$.

Подставив это в наше выражение, получим:

$\sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) - \sin\left(\frac{C}{2}\right)\right] \sin\left(\frac{C}{2}\right)$.

Так как значение косинуса любого угла не превышает 1, то $\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \le 1$. Учитывая, что $\sin\left(\frac{C}{2}\right) > 0$ для угла треугольника, мы можем оценить выражение сверху:

$\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) - \sin\left(\frac{C}{2}\right)\right] \sin\left(\frac{C}{2}\right) \le \frac{1}{2}\left[1 - \sin\left(\frac{C}{2}\right)\right] \sin\left(\frac{C}{2}\right)$.

Обозначим $x = \sin\left(\frac{C}{2}\right)$. Поскольку $0 < C < \pi$, то $0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2}$, и следовательно, $0 < x < 1$. Нам нужно найти максимальное значение выражения $\frac{1}{2}(1-x)x$.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее максимум находится в вершине с абсциссой $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1/2}{2(-1/2)} = \frac{1}{2}$.

Максимальное значение функции равно:

$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Таким образом, мы доказали, что $\sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) \le \frac{1}{8}$.

Отсюда следует, что:

$\frac{R}{r} = \frac{1}{4 \sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right)} \ge \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}} = \frac{1}{1/2} = 2$.

Неравенство $\frac{R}{r} \ge 2$ доказано.

Равенство $\frac{R}{r} = 2$ достигается тогда и только тогда, когда $\sin\left(\frac{A}{2}\right) \sin\left(\frac{B}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{8}$. Это происходит, когда оба неравенства, использованные в доказательстве, обращаются в равенства:

1) $\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = 1$, что означает $A=B$.

2) $x = \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{2}$, что означает $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6}$, то есть $C = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$.

Из $A=B$ и $A+B+C=\pi$ следует, что $2A + 60^\circ = 180^\circ$, откуда $A=60^\circ$.

Следовательно, $A=B=C=60^\circ$, и треугольник является равносторонним.

Ответ: Неравенство доказано. Равенство $\frac{R}{r}=2$ выполняется для равностороннего треугольника.