Тест 1, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

По данным на рисунке найдите радиус $R$.

а) 12;

б) 10;

в) 13;

г) 8.

По данным на рисунке, треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. На сторонах $AB$ и $BC$ стоят одинаковые штрихи, что означает их равенство: $AB = BC$. Так как по условию $BC = 24$, то и $AB = 24$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Отрезок $OM$ проведен из центра окружности $O$ перпендикулярно к стороне $AB$ (которая является хордой окружности), и его длина составляет $OM=5$.

По свойству окружности, отрезок, проведенный из центра и перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Значит, точка $M$ — середина хорды $AB$.

Найдем длину отрезка $AM$: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Рассмотрим треугольник $AOM$. Он является прямоугольным, так как $\angle OMA = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — $OM = 5$ и $AM = 12$. Гипотенуза $OA$ является радиусом окружности $R$, так как она соединяет центр окружности с точкой на ней.

Применим к прямоугольному треугольнику $AOM$ теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $OA^2 = OM^2 + AM^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$R^2 = 5^2 + 12^2$

$R^2 = 25 + 144$

$R^2 = 169$

$R = \sqrt{169}$

$R = 13$

Таким образом, радиус окружности $R$ равен 13. Среди предложенных вариантов это соответствует ответу в).

Ответ: 13.