Номер 5, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

5. Найдите площадь описанной трапеции.

a) $B$, $C$, $A$, $7$, $H$, $25$, $D$

б) $B$, $C$, $15$, $O$, $20$, $A$, $D$

в) $B$, $C$, $8$, $K$, $O.$ , $18$, $A$, $D$

а)

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

1. Из рисунка видно, что нижнее основание трапеции $AD$ состоит из двух отрезков: $AH=7$ и $HD=25$. Таким образом, длина основания $AD = AH + HD = 7 + 25 = 32$.

2. Дуги у углов $A$ и $D$ указывают на то, что эти углы равны: $\angle A = \angle D$. Трапеция с равными углами при основании является равнобедренной. Следовательно, боковые стороны равны: $AB=CD$.

3. В равнобедренной трапеции высота $BH$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AD$, отсекает на нем отрезок $AH$, который вычисляется по формуле $AH = \frac{AD-BC}{2}$.

4. Подставим известные значения: $7 = \frac{32-BC}{2}$. Отсюда находим верхнее основание $BC$:

$14 = 32 - BC$

$BC = 32 - 14 = 18$.

5. Трапеция является описанной, значит, в нее можно вписать окружность. Для описанного четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны: $AB+CD = AD+BC$.

6. Так как трапеция равнобедренная ($AB=CD$), то $2 \cdot AB = AD+BC$.

$2 \cdot AB = 32 + 18 = 50$.

$AB = 25$.

7. Теперь найдем высоту трапеции $h=BH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$.

$25^2 = 7^2 + h^2$.

$625 = 49 + h^2$.

$h^2 = 625 - 49 = 576$.

$h = \sqrt{576} = 24$.

8. Наконец, вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{32+18}{2} \cdot 24 = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$.

Ответ: 600.

б)

1. Трапеция $ABCD$ описана около окружности с центром $O$. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов. Следовательно, $OC$ и $OD$ — биссектрисы углов $C$ и $D$ соответственно.

2. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $COD$. Сумма его углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ равна:

$\angle OCD + \angle ODC = \frac{\angle C}{2} + \frac{\angle D}{2} = \frac{\angle C + \angle D}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

4. Так как сумма двух углов в треугольнике $COD$ равна $90^\circ$, третий угол $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Значит, треугольник $COD$ — прямоугольный.

5. Боковая сторона $CD$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$CD^2 = OC^2 + OD^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.

$CD = \sqrt{625} = 25$.

6. Проведем в треугольнике $COD$ высоту из вершины $O$ к гипотенузе $CD$. Эта высота является радиусом $r$ вписанной окружности, так как она перпендикулярна касательной $CD$. Площадь треугольника $COD$ можно вычислить двумя способами:

$S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$.

$S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot r$.

Приравняем площади: $150 = \frac{25}{2}r \implies r = \frac{150 \cdot 2}{25} = 12$.

7. Трапеция $ABCD$ — прямоугольная ($\angle A = 90^\circ$), ее высота $h$ равна боковой стороне $AB$. Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r$.

$h = AB = 2 \cdot 12 = 24$.

8. Для описанной трапеции суммы длин противоположных сторон равны: $AD+BC = AB+CD$.

$AD+BC = 24 + 25 = 49$.

9. Вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{49}{2} \cdot 24 = 49 \cdot 12 = 588$.

Ответ: 588.

в)

1. В любой описанной трапеции для боковой стороны (например, $CD$) и радиуса вписанной окружности $r$ выполняется свойство: $r^2 = CK \cdot KD$, где $K$ — точка касания, а $CK$ и $KD$ — отрезки, на которые точка $K$ делит сторону $CD$.

2. Используя данные из условия, $CK=8$ и $KD=18$, найдем радиус:

$r^2 = 8 \cdot 18 = 144$.

$r = \sqrt{144} = 12$.

3. Трапеция является прямоугольной ($\angle A = 90^\circ$), поэтому ее высота $h$ равна боковой стороне $AB$. Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h=2r$.

$h = AB = 2 \cdot 12 = 24$.

4. Найдем длины оснований $BC$ и $AD$. Пусть точки касания окружности со сторонами $BC$ и $AD$ — это $M$ и $N$ соответственно. По свойству касательных, проведенных из одной вершины:

$CM = CK = 8$.

$DN = DK = 18$.

5. Так как трапеция прямоугольная с прямыми углами $A$ и $B$, отрезки от этих вершин до точек касания равны радиусу. То есть, $BM = r = 12$ и $AN = r = 12$.

6. Теперь найдем длины оснований:

$BC = BM + MC = 12 + 8 = 20$.

$AD = AN + ND = 12 + 18 = 30$.

7. Боковая сторона $CD = CK+KD = 8+18=26$. Проверим свойство описанной трапеции:

$AB+CD = 24+26 = 50$.

$BC+AD = 20+30 = 50$.

Свойство выполняется.

8. Вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{20+30}{2} \cdot 24 = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$.

Ответ: 600.