Номер 175, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

175. По данным на рисунках 156, а) —в) вычислите при помощи калькулятора (таблиц) угол треугольника, обозначенный знаком вопроса. Ответ округлите до $1^\circ$.

a) B

б) B

в) B

$102^\circ$

18,1

12

?

8

9,8

C

?

C

8,7

$109^\circ$

?

$42^\circ$

16,3

A

CA

A

Puc. 156

а) Для нахождения неизвестного угла A в треугольнике ABC воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон. В данном треугольнике нам известны: сторона $BC = 9,8$, противолежащая искомому углу A; сторона $AB = 8$, противолежащая углу C; и угол $C = 42^{\circ}$.

Запишем теорему синусов для данного случая:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $

Подставим известные значения:

$ \frac{9,8}{\sin A} = \frac{8}{\sin 42^{\circ}} $

Выразим отсюда $ \sin A $:

$ \sin A = \frac{9,8 \cdot \sin 42^{\circ}}{8} $

С помощью калькулятора находим значение $ \sin 42^{\circ} \approx 0,6691 $.

$ \sin A \approx \frac{9,8 \cdot 0,6691}{8} \approx \frac{6,55718}{8} \approx 0,81965 $

Теперь найдем угол A, вычислив арксинус этого значения:

$ A = \arcsin(0,81965) \approx 55,05^{\circ} $

Округляя до целого числа градусов, получаем $ A \approx 55^{\circ} $.

Ответ: $55^{\circ}$

б) Для нахождения неизвестного угла C в треугольнике ABC применим теорему синусов. Нам даны: сторона $AB = 12$, противолежащая искомому углу C; сторона $AC = 16,3$, противолежащая углу B; и угол $B = 102^{\circ}$.

Запишем теорему синусов:

$ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} $

Подставим известные величины:

$ \frac{16,3}{\sin 102^{\circ}} = \frac{12}{\sin C} $

Выразим $ \sin C $:

$ \sin C = \frac{12 \cdot \sin 102^{\circ}}{16,3} $

С помощью калькулятора находим, что $ \sin 102^{\circ} \approx 0,9781 $.

$ \sin C \approx \frac{12 \cdot 0,9781}{16,3} \approx \frac{11,7372}{16,3} \approx 0,72007 $

Найдем угол C, вычислив арксинус:

$ C = \arcsin(0,72007) \approx 46,06^{\circ} $

Округляя до целого числа градусов, получаем $ C \approx 46^{\circ} $.

Ответ: $46^{\circ}$

в) Чтобы найти неизвестный угол B, сначала найдем угол C с помощью теоремы синусов, а затем воспользуемся тем, что сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Нам даны: сторона $BC = 18,1$ (противолежащая углу A), сторона $AB = 8,7$ (противолежащая углу C), и угол $A = 109^{\circ}$.

Шаг 1: Найдем угол C по теореме синусов.

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $

Подставим известные значения:

$ \frac{18,1}{\sin 109^{\circ}} = \frac{8,7}{\sin C} $

Выразим $ \sin C $:

$ \sin C = \frac{8,7 \cdot \sin 109^{\circ}}{18,1} $

С помощью калькулятора находим, что $ \sin 109^{\circ} \approx 0,9455 $.

$ \sin C \approx \frac{8,7 \cdot 0,9455}{18,1} \approx \frac{8,22585}{18,1} \approx 0,45447 $

Найдем угол C, вычислив арксинус:

$ C = \arcsin(0,45447) \approx 27,03^{\circ} $

Шаг 2: Найдем угол B, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$.

$ \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C $

$ \angle B \approx 180^{\circ} - 109^{\circ} - 27,03^{\circ} = 43,97^{\circ} $

Округляя до целого числа градусов, получаем $ \angle B \approx 44^{\circ} $.

Ответ: $44^{\circ}$