Номер 181, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

181. По данным на рисунках 158, а) —в) найдите радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) б) в) Рис. 158

а)

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру ($2R$) описанной окружности:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

В данном случае нам известна сторона $AC = 12\sqrt{3}$ и противолежащий ей угол $\angle B = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$2R = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

$2R = \frac{12\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)}$

Значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2R = \frac{12\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 24$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \frac{24}{2} = 12$

Ответ: $12$.

б)

Используем ту же теорему синусов. В этом треугольнике нам дана сторона $AC = 5$ и противолежащий ей угол $\angle B = 30^\circ$.

Формула для радиуса описанной окружности:

$2R = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим данные из условия задачи:

$2R = \frac{5}{\sin(30^\circ)}$

Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$2R = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10$

Теперь найдем радиус $R$:

$R = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: $5$.

в)

Для применения теоремы синусов нам нужна сторона и противолежащий ей угол. Нам дана сторона $BC = 6$. Найдем противолежащий ей угол $\angle A$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $ABC$ нам известны два угла: $\angle B = 50^\circ$ и $\angle C = 70^\circ$.

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Теперь мы можем применить теорему синусов для стороны $BC$ и угла $\angle A$:

$2R = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Подставляем известные значения:

$2R = \frac{6}{\sin(60^\circ)}$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2R = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$2R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

Находим радиус $R$:

$R = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$.