Номер 184, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

184. По данным на рисунках 160, а) —в) вычислите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Точки $A, B, C, H$. Длины отрезков: $AB=9$, $BH=6$, $BC=8$.

б) Точки $A, B, C, H$. Длины отрезков: $AB=6$, $BC=13$, $AC=12$.

в) Точки $A, B, C, H$. Длины отрезков: $BH=3$, $AH=4$, $HC=\sqrt{7}$.

Рис. 160

Для вычисления радиуса $R$ описанной окружности около треугольника $ABC$ воспользуемся расширенной теоремой синусов, согласно которой $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. Во всех задачах $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$ (или ее продолжению), что позволяет использовать прямоугольные треугольники $AHB$ и $CHB$ для нахождения необходимых элементов.

а) По данным на рисунке имеем: $AB = 9$, $BC = 8$, высота $BH = 6$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$. В нем можно найти синус угла $C$:

$\sin C = \frac{BH}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

В треугольнике $ABC$ стороне $AB$ противолежит угол $C$. По расширенной теореме синусов радиус описанной окружности равен:

$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{9}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{9}{\frac{3}{2}} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$.

Ответ: $6$.

б) По данным на рисунке имеем: $AB = 6$, $BC = 13$, отрезок $HC = 12$, и $BH$ — высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь найдем синус угла $C$:

$\sin C = \frac{BH}{BC} = \frac{5}{13}$.

Применим расширенную теорему синусов для стороны $AB$ и противолежащего угла $C$:

$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{6}{2 \cdot \frac{5}{13}} = \frac{6}{\frac{10}{13}} = 6 \cdot \frac{13}{10} = \frac{78}{10} = 7,8$.

Ответ: $7,8$.

в) По данным на рисунке имеем: высота $BH = 3$, отрезок $AH = 4$, отрезок $HC = \sqrt{7}$. Сначала найдем длины сторон $AB$ и $BC$, используя теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках $AHB$ и $CHB$.

Из $\triangle AHB$: $AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Из $\triangle CHB$: $BC = \sqrt{HC^2 + BH^2} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 3^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

Теперь найдем синус угла $A$ из $\triangle AHB$:

$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{5}$.

По расширенной теореме синусов для стороны $BC$ и противолежащего угла $A$:

$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{4}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{4}{\frac{6}{5}} = 4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$.