Номер 189, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

189. В прямоугольнике $ABCD$ $BC = 8$ см, $AB = 6$ см, $M$ — середина стороны $AD$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ACM$.

По условию задачи дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $BC = 8$ см и $AB = 6$ см. Точка $M$ является серединой стороны $AD$.

Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противолежащие стороны равны, то есть $AD = BC = 8$ см и $CD = AB = 6$ см. Все углы прямоугольника прямые, в частности $\angle D = 90^\circ$.

Поскольку точка $M$ — середина стороны $AD$, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AD$, а длина отрезка $DM$ равна $AM$:
$AM = MD = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности около треугольника $ACM$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Для этого найдем длины всех сторон треугольника $ACM$ и его площадь.

Найдем длины сторон треугольника $ACM$:
Сторона $AM$ нам уже известна: $AM = 4$ см.
Сторону $AC$, являющуюся диагональю прямоугольника, найдем из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
Сторону $CM$ найдем из прямоугольного треугольника $CDM$ (так как $\angle D = 90^\circ$), также по теореме Пифагора:
$CM = \sqrt{CD^2 + DM^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ACM$. В качестве основания возьмем сторону $AM$. Высотой, проведенной к прямой $AD$ (которой принадлежит основание $AM$) из вершины $C$, является сторона $CD$, так как $CD \perp AD$.
$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ см$^2$.

Подставим найденные значения длин сторон ($4$, $10$, $2\sqrt{13}$) и площади ($12$) в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AM \cdot AC \cdot CM}{4S_{ACM}} = \frac{4 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{13}}{4 \cdot 12} = \frac{80\sqrt{13}}{48}$.

Сократим дробь на 16:
$R = \frac{5\sqrt{13}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{13}}{3}$ см.