Номер 183, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

183. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром в точке $O$ и диаметром, равным $16\sqrt{2}$ см. Найдите длину стороны $AB$ треугольника $ABC$, если $\angle BOC = 160^\circ$, $\angle ABC - \angle ACB = 10^\circ$ и $\angle A$ — острый.

Для решения задачи воспользуемся данными и свойствами вписанных и центральных углов, а также теоремой синусов.

1. Найдем радиус $R$ описанной окружности. Диаметр $d = 16\sqrt{2}$ см, следовательно, радиус равен его половине:

$R = \frac{d}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Найдем углы треугольника $ABC$. Угол $\angle BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$. Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. Поскольку по условию $\angle A$ — острый, его величина равна половине центрального угла:

$\angle A = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$.

3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.

Подставим известное значение $\angle A$:

$80^\circ + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB = 100^\circ$

4. По условию дано, что $\angle ABC - \angle ACB = 10^\circ$. Теперь у нас есть система двух линейных уравнений относительно углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$:

$\begin{cases} \angle ABC + \angle ACB = 100^\circ \\ \angle ABC - \angle ACB = 10^\circ \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим:

$2\angle ABC = 110^\circ$, откуда $\angle ABC = 55^\circ$.

Подставим найденное значение в первое уравнение системы:

$55^\circ + \angle ACB = 100^\circ$, откуда $\angle ACB = 45^\circ$.

5. Теперь, зная угол $\angle ACB$, мы можем найти длину противолежащей ему стороны $AB$ по теореме синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R$

Выразим $AB$:

$AB = 2R \cdot \sin(\angle ACB)$

Подставим известные значения $2R = 16\sqrt{2}$ и $\angle ACB = 45^\circ$:

$AB = 16\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{16 \cdot 2}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.