Номер 186, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

186. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника со сторонами:

а) 10 см, 10 см, 12 см;

б) $2\sqrt{5}$ см, $2\sqrt{5}$ см, 8 см.

а)

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, можно использовать формулу $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

В данном случае дан равнобедренный треугольник со сторонами $a=10$ см, $b=10$ см и основанием $c=12$ см.

Сначала найдем площадь треугольника. Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $12 / 2 = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + 6^2 = 10^2$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Подставим полученные значения в формулу для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192}$.

Сократим дробь, чтобы найти конечный результат:

$R = \frac{1200}{192} = \frac{100 \cdot 12}{16 \cdot 12} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6,25$ см.

Ответ: 6,25 см.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$.

В этом случае стороны равнобедренного треугольника равны $a=2\sqrt{5}$ см, $b=2\sqrt{5}$ см и основание $c=8$ см.

Сначала найдем высоту $h$, проведенную к основанию $c=8$ см. Высота делит основание на два отрезка по $8 / 2 = 4$ см.

Применим теорему Пифагора:

$h^2 + 4^2 = (2\sqrt{5})^2$
$h^2 + 16 = 4 \cdot 5 = 20$
$h^2 = 20 - 16 = 4$
$h = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Подставим значения в формулу для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 8} = \frac{(4 \cdot 5) \cdot 8}{32} = \frac{20 \cdot 8}{32} = \frac{160}{32} = 5$ см.

Ответ: 5 см.