Номер 188, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

188. Используя формулу $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$, найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$.

В равностороннем треугольнике все стороны равны a, и все углы равны. Так как сумма углов в треугольнике составляет 180°, то каждый угол равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
Формула $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$ является следствием из теоремы синусов, где a — сторона треугольника, α — угол, противолежащий этой стороне, а R — радиус описанной окружности.
Для нашего равностороннего треугольника мы можем взять любую сторону a и противолежащий ей угол $\alpha = 60^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{a}{\sin 60^\circ} = 2R$
Известно, что значение синуса 60 градусов равно $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это значение в наше уравнение:
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$
Упростим левую часть:
$a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R$
$\frac{2a}{\sqrt{3}} = 2R$
Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти радиус R:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$