Номер 195, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

195. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника больше либо равен половине любой стороны треугольника.

Пусть дан произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Пусть $R$ — радиус описанной около этого треугольника окружности. Нам необходимо доказать, что для любой стороны, например, стороны $a$, выполняется неравенство $R \ge \frac{a}{2}$.

Для доказательства воспользуемся следствием из теоремы синусов (расширенной теоремой синусов), которая устанавливает связь между сторонами треугольника, синусами противолежащих углов и радиусом описанной окружности:

$$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$

Из этого соотношения можно выразить радиус описанной окружности через любую сторону и синус противолежащего ей угла. Возьмем сторону $a$ и угол $\alpha$:

$$ 2R = \frac{a}{\sin \alpha} $$

$$ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $$

Теперь докажем требуемое неравенство $R \ge \frac{a}{2}$. Подставим в него полученное выражение для $R$:

$$ \frac{a}{2 \sin \alpha} \ge \frac{a}{2} $$

Поскольку длина стороны треугольника $a$ — это положительное число ($a > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $\frac{2}{a}$, при этом знак неравенства не изменится:

$$ \frac{1}{\sin \alpha} \ge 1 $$

Угол $\alpha$ является углом треугольника, поэтому его значение находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Для любого угла в этом диапазоне его синус положителен и не превышает 1. То есть, для любого угла треугольника $\alpha$ справедливо неравенство:

$$ 0 < \sin \alpha \le 1 $$

Если $0 < x \le 1$, то обратная величина $\frac{1}{x} \ge 1$. Следовательно, так как $0 < \sin \alpha \le 1$, то:

$$ \frac{1}{\sin \alpha} \ge 1 $$

Это неравенство всегда истинно, что и доказывает наше первоначальное утверждение.

Рассмотрим случай равенства. Равенство $R = \frac{a}{2}$ достигается тогда, когда $\frac{1}{\sin \alpha} = 1$, что эквивалентно $\sin \alpha = 1$. Это возможно только в том случае, если угол $\alpha = 90^\circ$. То есть, если треугольник является прямоугольным, а сторона $a$ — его гипотенузой. В этом случае гипотенуза является диаметром описанной окружности, а радиус равен ее половине.

Так как рассуждения проводились для произвольной стороны $a$, они будут верны и для сторон $b$ и $c$. Таким образом, радиус описанной окружности треугольника всегда больше либо равен половине любой его стороны.

Ответ: Утверждение доказано. Исходя из теоремы синусов $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$ и того факта, что $\sin \alpha \le 1$ для любого угла треугольника, следует, что $R = \frac{a}{2 \sin \alpha} \ge \frac{a}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$. Что и требовалось доказать.