Моделирование, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

Задание 1.

1) Составьте алгоритм нахождения при помощи теоремы синусов расстояния от точки А до недоступной точки С (рис. 161), если известно, что $AB = c$, $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$.

2) Выразите $AC = b$ через $c, \alpha$ и $\beta$.

3) Найдите $AC$ при условии, что $AB = 30$ м, $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 80^\circ$. Ответ округлите до 1 м.

Рис. 161

Задание 2.

1) Глядя на рисунок 162, составьте математическую модель нахождения высоты $h$ башни, длин $l_1$ и $l_2$ тросов, идущих от вершины башни к земле. Расстояние от наблюдателя до башни измерить рулеткой нельзя, так как башню окружает ров, но можно измерить углы $\alpha$ и $\beta$ и расстояние $a$.

2) Найдите высоту башни и длины тросов при условии, что $a = 4$ м, $\alpha = 63^\circ$, $\beta = 48^\circ$. Ответ округлите до 1 м.

Рис. 162

1)

Алгоритм нахождения расстояния $AC$ ($b$) с помощью теоремы синусов состоит из следующих шагов:
1. Найти третий угол треугольника $△ABC$, угол $∠C$. Так как сумма углов треугольника равна 180°, $∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - α - β$.
2. Записать теорему синусов для $△ABC$: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.
3. Подставить известные значения в формулу: $\frac{b}{\sin(β)} = \frac{c}{\sin(180° - α - β)}$.
4. Выразить искомую величину $b$ и, при необходимости, упростить выражение. Используя свойство $\sin(180° - x) = \sin(x)$, формула для вычисления $b$ принимает вид $b = \frac{c \cdot \sin(β)}{\sin(α + β)}$.
5. Рассчитать итоговое значение.
Ответ: Алгоритм заключается в нахождении угла $∠C = 180° - α - β$, после чего искомое расстояние $AC$ вычисляется по формуле $AC = \frac{c \cdot \sin(β)}{\sin(α + β)}$ из теоремы синусов.

2)

Для выражения $AC = b$ через $c$, $α$ и $β$, воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.
Учитывая, что $AC = b$, $AB = c$, $∠B = β$, а угол $∠C = 180° - (α + β)$, подставляем эти значения в соотношение:

$\frac{b}{\sin(β)} = \frac{c}{\sin(180° - (α + β))}$.
Выражаем $b$: $b = \frac{c \cdot \sin(β)}{\sin(180° - (α + β))}$.
Так как $\sin(180° - x) = \sin(x)$, то $\sin(180° - (α + β)) = \sin(α + β)$.
Следовательно, искомое выражение:
Ответ: $b = \frac{c \cdot \sin(β)}{\sin(α + β)}$.

3)

Для нахождения $AC$ воспользуемся формулой из предыдущего пункта: $AC = \frac{c \cdot \sin(β)}{\sin(α + β)}$.
Подставим известные значения: $c = 30$ м, $α = 40°$, $β = 80°$.
$AC = \frac{30 \cdot \sin(80°)}{\sin(40° + 80°)} = \frac{30 \cdot \sin(80°)}{\sin(120°)}$.
Используя значения синусов ($\sin(80°) \approx 0.9848$, $\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$), производим расчет:
$AC \approx \frac{30 \cdot 0.9848}{0.8660} \approx \frac{29.544}{0.8660} \approx 34.115$ м.
Округляя результат до 1 м, получаем 34 м.
Ответ: $AC ≈ 34$ м.

1)

Математическая модель для нахождения высоты башни $h$ и длин тросов $l₁$ и $l₂$ основывается на решении системы уравнений для двух прямоугольных треугольников.
Пусть $h$ — высота башни, $O$ — её основание. Точки $A$ и $B$ — точки на земле, где измеряются углы $α$ и $β$. Расстояние $AB = a$. Точки $O$, $A$, $B$ лежат на одной прямой. Углы $α$ и $β$ — это углы возвышения ($∠TAO = α$, $∠TBO = β$, где $T$ — вершина башни).
Из $△TAO$ ($∠O=90°$) имеем $OA = h \cdot \cot(α)$.
Из $△TBO$ ($∠O=90°$) имеем $OB = h \cdot \cot(β)$.
Из рисунка видно, что $OB = OA + a$. Подставив выражения для $OA$ и $OB$, получаем: $h \cdot \cot(β) = h \cdot \cot(α) + a$.
Отсюда выражаем $h$: $h(\cot(β) - \cot(α)) = a \implies h = \frac{a}{\cot(β) - \cot(α)}$.
Длины тросов $l₁$ и $l₂$ являются гипотенузами $TA$ и $TB$.
$l_1 = \frac{h}{\sin(α)}$ и $l_2 = \frac{h}{\sin(β)}$.
Ответ: Математическая модель состоит из формул: $h = \frac{a}{\cot(β) - \cot(α)}$, $l_1 = \frac{h}{\sin(α)}$, $l_2 = \frac{h}{\sin(β)}$.

2)

Используя модель из предыдущего пункта и заданные значения $a = 4$ м, $α = 63°$, $β = 48°$, найдем высоту башни $h$ и длины тросов $l₁$ и $l₂$.
1. Находим высоту $h$:

$h = \frac{4}{\cot(48°) - \cot(63°)} \approx \frac{4}{0.9004 - 0.5095} = \frac{4}{0.3909} \approx 10.233$ м.
Округляя до 1 м, получаем $h \approx 10$ м.
2. Находим длину троса $l₁$ (используя более точное значение $h$ для промежуточных расчетов):

$l_1 = \frac{h}{\sin(α)} \approx \frac{10.233}{\sin(63°)} \approx \frac{10.233}{0.8910} \approx 11.485$ м.
Округляя до 1 м, получаем $l_1 \approx 11$ м.
3. Находим длину троса $l₂$:

$l_2 = \frac{h}{\sin(β)} \approx \frac{10.233}{\sin(48°)} \approx \frac{10.233}{0.7431} \approx 13.770$ м.
Округляя до 1 м, получаем $l_2 \approx 14$ м.
Ответ: Высота башни $h \approx 10$ м, длина троса $l_1 \approx 11$ м, длина троса $l_2 \approx 14$ м.