Номер 193, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

193. Докажите, что радиус окружности, проходящей через ортоцентр непрямоугольного треугольника и две любые его вершины, равен радиусу окружности, описанной около треугольника.

Пусть дан непрямоугольный треугольник $ABC$. Обозначим его ортоцентр (точку пересечения высот) как $H$, а радиус описанной около него окружности как $R$.

Без ограничения общности выберем две вершины треугольника, например, $B$ и $C$. Нам нужно доказать, что радиус окружности, проходящей через точки $H$, $B$ и $C$, равен $R$. Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника $HBC$, как $R_{HBC}$.

Доказательство основано на свойстве отражения ортоцентра относительно сторон треугольника.

Доказательство

Рассмотрим точку $K$, симметричную ортоцентру $H$ относительно стороны $BC$. Докажем, что точка $K$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

Пусть $AD$ — высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $H$ лежит на отрезке $AD$ (если треугольник остроугольный) или на его продолжении (если тупоугольный). Пусть продолжение высоты $AD$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K'$. Мы докажем, что $K'=K$, то есть что $HD = DK'$, где $D$ — основание высоты.

1. Рассмотрим угол $\angle HBC$. Пусть $BE$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. В прямоугольном треугольнике $AEC$ имеем $\angle C = 90^\circ - \angle EAC$. В прямоугольном треугольнике $BEС$ имеем $\angle EBC = 90^\circ - \angle C$. Так как ортоцентр $H$ лежит на высоте $BE$, то $\angle HBC = \angle EBC = 90^\circ - \angle C$.

2. Теперь рассмотрим угол $\angle K'BC$. Точки $A, B, C, K'$ лежат на одной окружности. Углы $\angle K'BC$ и $\angle K'AC$ опираются на одну и ту же дугу $K'C$. Следовательно, $\angle K'BC = \angle K'AC$.

3. В прямоугольном треугольнике $ADC$ угол $\angle DAC = 90^\circ - \angle C$. Так как точка $K'$ лежит на продолжении $AD$, то $\angle K'AC = \angle DAC = 90^\circ - \angle C$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle K'BC = 90^\circ - \angle C$. Сравнивая это с результатом из пункта 1, получаем: $\angle HBC = \angle K'BC$.

5. Теперь рассмотрим треугольники $\Delta HBD$ и $\Delta K'BD$:

• $BD$ — общая сторона.
• $\angle HDB = \angle K'DB = 90^\circ$ (так как $AD$ — высота).
• $\angle HBD = \angle K'BD$ (как мы только что доказали).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta HBD$ и $\Delta K'BD$ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $HD = DK'$. Это означает, что точка $K'$ действительно является симметричным отражением точки $H$ относительно прямой $BC$. Таким образом, точка $K$, симметричная ортоцентру $H$ относительно стороны $BC$, лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

Теперь вернемся к радиусу $R_{HBC}$. Треугольник $KBC$ является образом треугольника $HBC$ при осевой симметрии относительно прямой $BC$. Осевая симметрия является движением, поэтому $\Delta HBC \cong \Delta KBC$.

Радиусы описанных окружностей у равных треугольников равны, следовательно, радиус описанной окружности $\Delta HBC$ равен радиусу описанной окружности $\Delta KBC$.

$R_{HBC} = R_{KBC}$

Но точки $K, B, C$ лежат на описанной окружности треугольника $ABC$ (точки $B$ и $C$ по определению, а точка $K$ — по доказанному свойству). Это означает, что описанная окружность для $\Delta KBC$ — это та же самая окружность, что и описанная окружность для $\Delta ABC$. Ее радиус равен $R$.

Таким образом, $R_{KBC} = R$, и, следовательно, $R_{HBC} = R$.

Доказательство для двух других пар вершин (A, B и A, C) полностью аналогично.

Ответ: Утверждение доказано. Радиус окружности, проходящей через ортоцентр и две любые вершины треугольника, равен радиусу окружности, описанной около этого треугольника.