Номер 187, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

187. В треугольнике дана сторона $a$ и углы $\beta$, $\gamma$. Используя теорему синусов, найдите стороны $b$ и $c$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Она гласит, что для любого треугольника отношение длин сторон к синусам противолежащих им углов является постоянной величиной:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Здесь $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — это углы, лежащие напротив сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно.

По условию нам даны сторона $a$ и два угла: $\beta$ и $\gamma$. Чтобы использовать теорему синусов, нам нужно знать угол $\alpha$, который противолежит известной стороне $a$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому мы можем найти угол $\alpha$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$

Теперь, зная все три угла (два даны, один вычислен) и одну сторону, мы можем найти две оставшиеся стороны.

b

Чтобы найти сторону $b$, воспользуемся пропорцией из теоремы синусов, связывающей стороны $a$ и $b$:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

Выразим из этой формулы искомую сторону $b$:

$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}$

Подставим в знаменатель найденное нами ранее выражение для угла $\alpha$:

$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))}$

Применим тригонометрическое тождество (формулу приведения) $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$. В нашем случае $x = \beta + \gamma$. Тогда:

$\sin(180^\circ - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$

Таким образом, окончательная формула для нахождения стороны $b$:

Ответ: $b = \frac{a \sin \beta}{\sin(\beta + \gamma)}$

c

Аналогично найдем сторону $c$. Воспользуемся пропорцией, связывающей стороны $a$ и $c$:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Выразим сторону $c$:

$c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha}$

Снова подставим выражение для угла $\alpha$:

$c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))}$

Используя то же самое тригонометрическое тождество, упрощаем знаменатель:

$\sin(180^\circ - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$

В результате получаем формулу для нахождения стороны $c$:

Ответ: $c = \frac{a \sin \gamma}{\sin(\beta + \gamma)}$