Номер 194, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

194. Дан остроугольный треугольник $ABC$, где $AB < BC$; $BM$ — медиана, $BK$ — биссектриса треугольника. Докажите, используя теорему синусов, что $AK < AM$.

По условию задачи дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB < BC$. $BM$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и $AM = MC = \frac{1}{2}AC$. $BK$ — биссектриса угла $B$, точка $K$ лежит на стороне $AC$. Требуется доказать, что $AK < AM$.

Для доказательства воспользуемся теоремой синусов. Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CBK$, на которые биссектриса $BK$ делит исходный треугольник.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABK$:

$$ \frac{AK}{\sin(\angle ABK)} = \frac{AB}{\sin(\angle AKB)} $$

Из этого соотношения выразим длину отрезка $AK$:

$$ AK = \frac{AB \cdot \sin(\angle ABK)}{\sin(\angle AKB)} $$

Аналогично применим теорему синусов к треугольнику $CBK$:

$$ \frac{CK}{\sin(\angle CBK)} = \frac{BC}{\sin(\angle BKC)} $$

Выразим длину отрезка $CK$:

$$ CK = \frac{BC \cdot \sin(\angle CBK)}{\sin(\angle BKC)} $$

Используем свойства биссектрисы и смежных углов:

1. Так как $BK$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABK = \angle CBK$.

2. Углы $\angle AKB$ и $\angle BKC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Синусы смежных углов равны: $\sin(\angle AKB) = \sin(180^\circ - \angle BKC) = \sin(\angle BKC)$.

Теперь найдем отношение длин отрезков $AK$ и $CK$, разделив одно полученное выражение на другое:

$$ \frac{AK}{CK} = \frac{\frac{AB \cdot \sin(\angle ABK)}{\sin(\angle AKB)}}{\frac{BC \cdot \sin(\angle CBK)}{\sin(\angle BKC)}} $$

Учитывая, что $\sin(\angle ABK) = \sin(\angle CBK)$ и $\sin(\angle AKB) = \sin(\angle BKC)$, их можно сократить в дроби. В результате получаем:

$$ \frac{AK}{CK} = \frac{AB}{BC} $$

(Это соотношение известно как свойство биссектрисы треугольника).

По условию задачи дано, что $AB < BC$. Из этого следует, что дробь $\frac{AB}{BC} < 1$.

Следовательно, $\frac{AK}{CK} < 1$, что равносильно неравенству $AK < CK$.

Теперь вернемся к сравнению $AK$ и $AM$. Мы знаем, что $M$ — середина стороны $AC$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC$.

Длину стороны $AC$ можно представить как сумму длин отрезков $AK$ и $CK$: $AC = AK + CK$.

Подставив это в выражение для $AM$, получим: $AM = \frac{AK + CK}{2}$.

Нам необходимо доказать неравенство $AK < AM$. Заменим $AM$ на его выражение через $AK$ и $CK$:

$$ AK < \frac{AK + CK}{2} $$

Умножим обе части неравенства на 2:

$$ 2AK < AK + CK $$

Вычтем $AK$ из обеих частей неравенства:

$$ AK < CK $$

Как мы показали ранее, неравенство $AK < CK$ является прямым следствием условия $AB < BC$ и применения теоремы синусов. Поскольку мы доказали, что $AK < CK$, то и равносильное ему неравенство $AK < AM$ также является верным.

Ответ: Утверждение $AK < AM$ доказано.