Тест 4, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 4

Найдите медиану $BM$ треугольника $ABC$ по формуле медианы.

а) 2; б) 1,5; в) 1; г) $\sqrt{2}$.

в)

Для нахождения длины медианы BM треугольника ABC, согласно условию задачи, необходимо использовать формулу длины медианы. Формула для медианы $m_b$, проведенной к стороне $b$ в треугольнике со сторонами $a$, $b$ и $c$, имеет вид:

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$

Из изображения известны длины сторон треугольника ABC: $AB = \sqrt{3}$, $BC = 1$, $AC = 2$. Медиана BM проведена к стороне AC. В обозначениях для формулы имеем: $a = BC = 1$, $c = AB = \sqrt{3}$, и сторона, к которой проведена медиана, $b = AC = 2$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения медианы $BM$:

$BM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot (BC)^2 + 2 \cdot (AB)^2 - (AC)^2}$

$BM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 1^2 + 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 2^2}$

Выполним вычисления поэтапно:

$BM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 4}$

$BM = \frac{1}{2}\sqrt{2 + 6 - 4}$

$BM = \frac{1}{2}\sqrt{4}$

$BM = \frac{1}{2} \cdot 2$

$BM = 1$

Таким образом, длина медианы BM равна 1.

В качестве проверки можно использовать свойство прямоугольного треугольника. Проверим, выполняется ли для данного треугольника теорема Пифагора: $AB^2 + BC^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Квадрат стороны AC равен $AC^2 = 2^2 = 4$. Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом B. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $BM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Результат совпадает.

Ответ: 1