Номер 200, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

200. a) Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 10 см. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM: MC = 2 : 3$. Найдите длину отрезка $AM$.

б) На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM : MB = 2 : 1$. Найдите длину отрезка $CM$, если $AB = 9$ см, $BC = 6$ см.

а)

В равностороннем треугольнике $ABC$ все стороны равны $10$ см, и все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $AB = BC = AC = 10$ см и $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 2 : 3$. Найдем длины отрезков $BM$ и $MC$. Общая длина стороны $BC$ равна $10$ см. Отношение $2:3$ означает, что сторона разделена на $2+3=5$ частей.

Длина одной части равна $\frac{BC}{5} = \frac{10}{5} = 2$ см.

Тогда длина отрезка $BM$ составляет 2 части, а $MC$ — 3 части:

$BM = 2 \cdot 2 = 4$ см.

$MC = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Для нахождения длины отрезка $AM$ рассмотрим треугольник $ABM$. В нем известны две стороны $AB = 10$ см, $BM = 4$ см и угол между ними $\angle B = 60^\circ$. Воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Применительно к треугольнику $ABM$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

Подставляем известные значения:

$AM^2 = 10^2 + 4^2 - 2 \cdot 10 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = 1/2$:

$AM^2 = 100 + 16 - 2 \cdot 10 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}$

$AM^2 = 116 - 40$

$AM^2 = 76$

$AM = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Ответ: $2\sqrt{19}$ см.

б)

Дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $AB$ — гипотенуза. Это означает, что угол $\angle C = 90^\circ$. Известны длины гипотенузы $AB = 9$ см и катета $BC = 6$ см.

Точка $M$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $AM : MB = 2 : 1$. Найдем длины отрезков $AM$ и $MB$. Общая длина гипотенузы $AB$ равна $9$ см. Отношение $2:1$ означает, что гипотенуза разделена на $2+1=3$ части.

Длина одной части равна $\frac{AB}{3} = \frac{9}{3} = 3$ см.

Тогда длина отрезка $AM$ составляет 2 части, а $MB$ — 1 часть:

$AM = 2 \cdot 3 = 6$ см.

$MB = 1 \cdot 3 = 3$ см.

Для нахождения длины отрезка $CM$ (который является чевианой) рассмотрим треугольник $BCM$. В нем известны стороны $BC = 6$ см и $BM = 3$ см. Чтобы использовать теорему косинусов, нам нужен угол $\angle B$.

Найдем косинус угла $\angle B$ из прямоугольного треугольника $ABC$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $BCM$ для нахождения стороны $CM$:

$CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2 \cdot BC \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения:

$CM^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3}$

$CM^2 = 36 + 9 - 2 \cdot 6 \cdot 2$

$CM^2 = 45 - 24$

$CM^2 = 21$

$CM = \sqrt{21}$ см.

Ответ: $\sqrt{21}$ см.