Номер 207, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

207. а) Найдите косинус меньшего угла треугольника со сторонами, равными 2 см, 3 см и 4 см.

б) Найдите косинус большего угла треугольника со сторонами, равными 5 см, 6 см, 7 см.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой косинусов. Она гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Из этой формулы можно выразить косинус угла, противолежащего стороне $c$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.

В любом треугольнике меньший угол лежит напротив меньшей стороны. В нашем случае стороны равны 2 см, 3 см и 4 см. Меньшая сторона — 2 см. Обозначим ее как $c$, а две другие стороны как $a = 3$ см и $b = 4$ см. Нам нужно найти косинус угла $\gamma$, лежащего напротив стороны $c$.

Подставим значения в формулу:

$\cos(\gamma) = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4}$

Выполним вычисления:

$\cos(\gamma) = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{25 - 4}{24} = \frac{21}{24}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

б)

Аналогично пункту а), используем теорему косинусов. В треугольнике больший угол лежит напротив большей стороны. Стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Большая сторона — 7 см. Обозначим ее как $c$, а две другие стороны как $a = 5$ см и $b = 6$ см. Найдем косинус угла $\gamma$, лежащего напротив стороны $c$.

Формула для косинуса угла:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.

Подставим значения длин сторон:

$\cos(\gamma) = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}$

Выполним вычисления:

$\cos(\gamma) = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{61 - 49}{60} = \frac{12}{60}$

Сократим полученную дробь на 12:

$\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.