Номер 212, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

212. а) В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 4 \text{ см}$, $AM = 3 \text{ см}$ — медиана (рис. 177). Найдите основание $AC$ треугольника.

б) В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$, $AC = 8 \text{ см}$. На сторонах $BC$ и $AC$ взяты точки $F$ и $K$ соответственно такие, что $BF = 2FC$, $AK = KC$ (рис. 178). Найдите длину отрезка $KF$.

Рис. 177

Рис. 178

а)

1. По определению, медиана $AM$ делит сторону $BC$, к которой она проведена, пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Так как длина стороны $BC$ равна 4 см, то длины отрезков $BM$ и $MC$ равны:
$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. В нем известны длины всех трех сторон: $AB = 4$ см, $BM = 2$ см и $AM = 3$ см. Используя теорему косинусов для этого треугольника, можно найти косинус угла $B$.
$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$
Подставим известные значения:
$3^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(\angle B)$
$9 = 16 + 4 - 16 \cdot \cos(\angle B)$
$9 = 20 - 16 \cdot \cos(\angle B)$
$16 \cdot \cos(\angle B) = 20 - 9$
$16 \cdot \cos(\angle B) = 11$
$\cos(\angle B) = \frac{11}{16}$

3. Зная косинус угла $B$, мы можем найти длину основания $AC$ в треугольнике $ABC$, снова применив теорему косинусов. В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB = 4$ см, $BC = 4$ см и косинус угла между ними.
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$
Подставим известные значения:
$AC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{11}{16}$
$AC^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{11}{16}$
$AC^2 = 32 - 2 \cdot 11$
$AC^2 = 32 - 22$
$AC^2 = 10$
$AC = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.

б)

1. Сначала найдем длины отрезков $KC$ и $FC$.
По условию, $AK = KC$, значит, точка $K$ является серединой стороны $AC$.
$KC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
По условию, $BF = 2FC$. Это означает, что сторона $BC$ состоит из трех равных частей, две из которых составляют $BF$, а одна - $FC$. Таким образом, $BC = BF + FC = 2FC + FC = 3FC$.
Так как $BC = 6$ см, получаем $3FC = 6$ см, откуда $FC = 2$ см.

2. Теперь у нас есть треугольник $KCF$, в котором известны длины двух сторон: $KC=4$ см и $FC=2$ см. Чтобы найти длину третьей стороны $KF$, нужно определить косинус угла $C$ между ними. Косинус угла $C$ найдем из исходного треугольника $ABC$ по теореме косинусов.
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
Подставим длины сторон треугольника $ABC$:
$5^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(\angle C)$
$25 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos(\angle C)$
$25 = 100 - 96 \cdot \cos(\angle C)$
$96 \cdot \cos(\angle C) = 100 - 25$
$96 \cdot \cos(\angle C) = 75$
$\cos(\angle C) = \frac{75}{96} = \frac{25 \cdot 3}{32 \cdot 3} = \frac{25}{32}$

3. Зная две стороны и косинус угла между ними в треугольнике $KCF$, найдем длину стороны $KF$ по теореме косинусов.
$KF^2 = KC^2 + FC^2 - 2 \cdot KC \cdot FC \cdot \cos(\angle C)$
Подставим найденные значения:
$KF^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{25}{32}$
$KF^2 = 16 + 4 - 16 \cdot \frac{25}{32}$
$KF^2 = 20 - \frac{25}{2}$
$KF^2 = 20 - 12.5 = 7.5$
$KF^2 = \frac{15}{2}$
$KF = \sqrt{\frac{15}{2}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{2}$ см.