Номер 213, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

213. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $K$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AK = 5$ см, $KC = 10$ см, $\angle A = 60^\circ$.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка касания со стороной $AC$ дана в условии — это точка $K$.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной вершины, длины отрезков от вершины до точек касания равны. Поэтому:
$AM = AK = 5$ см,
$CN = CK = 10$ см,
$BM = BN$.

Обозначим длину равных отрезков $BM$ и $BN$ как $x$. Теперь выразим длины сторон треугольника $ABC$ через $x$:
Сторона $AC = AK + KC = 5 + 10 = 15$ см.
Сторона $AB = AM + MB = 5 + x$.
Сторона $BC = BN + NC = x + 10$.

Мы знаем длины всех трех сторон (выраженные через $x$) и один угол $\angle A = 60^\circ$. Это позволяет нам использовать теорему косинусов для нахождения $x$. Теорема косинусов для стороны $BC$ выглядит так:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$$

Подставим наши значения и выражения в эту формулу. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$$(x + 10)^2 = (5 + x)^2 + 15^2 - 2 \cdot (5 + x) \cdot 15 \cdot \frac{1}{2}$$

Упростим правую часть:

$$(x + 10)^2 = (5 + x)^2 + 225 - 15(5 + x)$$

Раскроем скобки в уравнении:

$$x^2 + 20x + 100 = (25 + 10x + x^2) + 225 - 75 - 15x$$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$x^2 + 20x + 100 = x^2 - 5x + 175$$

Сократим $x^2$ в обеих частях и перегруппируем слагаемые, чтобы решить линейное уравнение относительно $x$:

$$20x + 5x = 175 - 100$$

$$25x = 75$$

$$x = 3$$

Мы нашли, что $x = 3$ см. Теперь можно вычислить длины всех сторон треугольника:
$AB = 5 + 3 = 8$ см.
$BC = 3 + 10 = 13$ см.
$AC = 15$ см.

Периметр треугольника $ABC$ — это сумма длин его сторон:

$$P_{ABC} = AB + BC + AC = 8 + 13 + 15 = 36 \text{ см}$$

Ответ: 36 см.