Номер 215, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

215. a) В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) диагонали $AC = 6$ см, $BD = 9$ см,

$O$ — точка пересечения диагоналей, $\cos \angle COD = \frac{1}{4}$. Найдите среднюю линию трапеции.

б) Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$), диагональ $AC$ равна $9$ см, $AD - CD = 3$ см, $\cos \angle CAD = \frac{5}{6}$. Найдите периметр трапеции.

а) Для нахождения средней линии трапеции, равной полусумме оснований $m = \frac{AD+BC}{2}$, воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel DE$ (как части оснований трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Из свойств параллелограмма следует, что $CE = BD = 9$ см и $DE = BC$.

Рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны: $AC = 6$ см, $CE = 9$ см. Основание $AE = AD + DE = AD + BC$. Таким образом, средняя линия трапеции равна $m = \frac{AE}{2}$.

Найдем длину стороны $AE$ по теореме косинусов для треугольника $ACE$:
$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos\angle ACE$.

Угол $\angle ACE$ — это угол между прямыми $AC$ и $CE$. Так как $CE \parallel BD$, угол между прямыми $AC$ и $CE$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$. Углы между диагоналями — это $\angle COD$ и смежный с ним $\angle AOD$. Пусть $\alpha = \angle COD$. Тогда $\angle AOD = 180^\circ - \alpha$. Угол $\angle ACE$ связан с углом между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CE}$. Вектор $\vec{CE}$ сонаправлен вектору $\vec{BD}$, а вектор $\vec{CA}$ противонаправлен вектору $\vec{AC}$. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равен $\angle COD = \alpha$. Тогда угол между $\vec{CA}$ и $\vec{CE}$ будет $180^\circ - \alpha$. Следовательно, $\cos\angle ACE = \cos(180^\circ - \angle COD) = -\cos\angle COD = -\frac{1}{4}$.

Подставим известные значения в теорему косинусов:

$AE^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot (-\frac{1}{4}) = 36 + 81 + \frac{108}{4} = 117 + 27 = 144$.

Отсюда $AE = \sqrt{144} = 12$ см.

Средняя линия трапеции равна $m = \frac{AE}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

б) Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, $AB=CD$. Периметр трапеции $P = AD + BC + AB + CD = AD + BC + 2CD$.

Из условия $AD - CD = 3$ см. Обозначим $CD = x$, тогда $AD = x+3$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Нам известны сторона $AC=9$ см, $\cos\angle CAD = \frac{5}{6}$, а стороны $CD$ и $AD$ выражены через $x$. Применим теорему косинусов для $\triangle ACD$:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos\angle CAD$

$x^2 = 9^2 + (x+3)^2 - 2 \cdot 9 \cdot (x+3) \cdot \frac{5}{6}$

$x^2 = 81 + (x^2+6x+9) - 3 \cdot 5 \cdot (x+3)$

$x^2 = 81 + x^2 + 6x + 9 - 15x - 45$

$0 = (81+9-45) + (6x-15x)$

$0 = 45 - 9x$

$9x = 45 \implies x = 5$ см.

Таким образом, боковая сторона $CD = 5$ см, а большее основание $AD = 5+3 = 8$ см. Так как трапеция равнобедренная, $AB=CD=5$ см.

Для нахождения меньшего основания $BC$ опустим из вершины $C$ высоту $CK$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CKD$ катет $DK$ равен $DK = CD \cdot \cos\angle CDA$.

Найдем $\cos\angle CDA$ из $\triangle ACD$ по теореме косинусов, зная все его стороны ($AC=9, CD=5, AD=8$):

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos\angle CDA$

$9^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos\angle CDA$

$81 = 64 + 25 - 80 \cdot \cos\angle CDA$

$81 = 89 - 80 \cdot \cos\angle CDA$

$80 \cdot \cos\angle CDA = 89 - 81 = 8$

$\cos\angle CDA = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}$.

Теперь найдем проекцию боковой стороны на основание: $DK = CD \cdot \cos\angle CDA = 5 \cdot \frac{1}{10} = 0.5$ см.

В равнобедренной трапеции $AD = BC + 2DK$. Отсюда находим $BC$:

$8 = BC + 2 \cdot 0.5 = BC + 1$

$BC = 7$ см.

Теперь мы можем найти периметр трапеции:

$P = AD + BC + AB + CD = 8 + 7 + 5 + 5 = 25$ см.

Ответ: 25 см.