Номер 216, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

216. Две стороны треугольника равны 8 см и 14 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 7 см. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся формулой длины медианы. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Медиана, проведенная к стороне $c$, обозначается как $m_c$. Формула, связывающая длины сторон и медианы, выглядит следующим образом:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

По условию задачи нам даны:

Сторона $a = 8$ см.

Сторона $b = 14$ см.

Медиана $m_c = 7$ см.

Наша цель — найти длину стороны $c$. Для этого выразим $c^2$ из формулы. Сначала умножим обе части на 2 и возведем в квадрат:

$(2m_c)^2 = (\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2})^2$

$4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$

Теперь выразим $c^2$:

$c^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4m_c^2$

Подставим в эту формулу известные значения $a=8$, $b=14$ и $m_c=7$:

$c^2 = 2 \cdot (8^2) + 2 \cdot (14^2) - 4 \cdot (7^2)$

Произведем вычисления:

$c^2 = 2 \cdot 64 + 2 \cdot 196 - 4 \cdot 49$

$c^2 = 128 + 392 - 196$

$c^2 = 520 - 196$

$c^2 = 324$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$c = \sqrt{324}$

$c = 18$ см.

Ответ: 18 см.