Реальная геометрия, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

Задание 1. Объясните, как можно найти расстоя-ние между точками A и B (рис. 179), если известны расстояния от точки M, где находится наблюдатель, до точек A и B и угол AMB. Найдите это расстояние при условии, что $MA = 30$ м, $MB = 20$ м, $\angle AMB = 68^\circ$. Ответ округлите до метров.

(Для самоконтроля. Ответ: искомое число в метрах равно числу дней в феврале високосного года.)

Рис. 179

Задание 2. Из одного населенного пункта выходят две дороги, угол между которыми равен $60^\circ$ (рис. 180). Одновременно по одной дороге выезжает автомобиль со скоростью $80$ км/ч, по другой — автобус со скоростью $50$ км/ч. Определите в минутах, через какое время расстояние между автобусом и автомобилем станет равным $7$ км.

(Для самоконтроля. Ответ: искомое число равно $n$, где 1) — Меркурий; 2) — Венера; 3) — Земля; ...; $n$) — Сатурн.)

Рис. 180

Задание 3. Определите угол «обстрела» футбольных ворот с 11-метровой отметки (рис. 181). Для этого достаточно измерить шагами расстояния от точки A до точек B и C и ширину ворот на школьном футбольном поле. При решении используйте теорему косинусов.

Рис. 181

Задание 1.

Чтобы найти расстояние между точками A и B, можно рассмотреть треугольник AMB. В этом треугольнике известны две стороны (MA и MB) и угол между ними (∠AMB). Для нахождения неизвестной третьей стороны (AB), противолежащей известному углу, следует воспользоваться теоремой косинусов.

Теорема косинусов для треугольника AMB формулируется так:

$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$

Подставим известные значения:

$MA = 30$ м

$MB = 20$ м

$\angle AMB = 68^\circ$

Выполним расчет:

$AB^2 = 30^2 + 20^2 - 2 \cdot 30 \cdot 20 \cdot \cos(68^\circ)$

$AB^2 = 900 + 400 - 1200 \cdot \cos(68^\circ)$

Значение $\cos(68^\circ)$ approximately равно $0.3746$.

$AB^2 \approx 1300 - 1200 \cdot 0.3746$

$AB^2 \approx 1300 - 449.52$

$AB^2 \approx 850.48$

$AB = \sqrt{850.48} \approx 29.163$ м

Согласно условию, ответ необходимо округлить до метров. Округляя $29.163$, получаем 29 м.

Ответ: 29 м.

Задание 2.

Пусть $t$ — искомое время в часах. За это время автомобиль проедет расстояние $S_1$, а автобус — расстояние $S_2$.

$S_1 = v_{авто} \cdot t = 80t$ км

$S_2 = v_{автобус} \cdot t = 50t$ км

Пути, пройденные автомобилем и автобусом, представляют собой две стороны треугольника, выходящие из одной вершины (населенного пункта). Третья сторона этого треугольника — это расстояние между ними, которое по условию равно 7 км. Угол между первыми двумя сторонами равен $60^\circ$.

Применим теорему косинусов, где $a = S_1$, $b = S_2$, $c = 7$ км, а угол между $a$ и $b$ равен $60^\circ$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$7^2 = (80t)^2 + (50t)^2 - 2 \cdot (80t) \cdot (50t) \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = 0.5$, подставляем это значение в уравнение:

$49 = 6400t^2 + 2500t^2 - 2 \cdot 80 \cdot 50 \cdot t^2 \cdot 0.5$

$49 = 8900t^2 - 8000t^2 \cdot 0.5$

$49 = 8900t^2 - 4000t^2$

$49 = 4900t^2$

Теперь найдем $t^2$:

$t^2 = \frac{49}{4900} = \frac{1}{100}$

Отсюда $t = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}$ часа (время не может быть отрицательным).

Вопрос требует указать время в минутах. Переведем часы в минуты:

$t = \frac{1}{10} \text{ часа} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 6$ минут.

Ответ: 6.

Задание 3.

Для определения угла «обстрела» $\alpha$ воспользуемся стандартными размерами футбольного поля и ворот. Ширина ворот (расстояние BC) составляет $7.32$ м. 11-метровая отметка (точка A) расположена по центру ворот на расстоянии $11$ м от линии ворот.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, где B и C — основания штанг ворот, а A — точка удара. Стороны $AB$ и $AC$ равны.

Чтобы найти длины сторон $AB$ и $AC$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой A, центром ворот (пусть это будет точка D на прямой BC) и одной из штанг (например, B). В этом треугольнике катет $AD = 11$ м, а катет $BD$ равен половине ширины ворот: $BD = \frac{7.32}{2} = 3.66$ м.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$:

$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 11^2 + 3.66^2 = 121 + 13.3956 = 134.3956$

$AB = \sqrt{134.3956} \approx 11.593$ м. Так как треугольник ABC равнобедренный, $AC \approx 11.593$ м.

Теперь, зная все три стороны треугольника ABC ($AB \approx 11.593$ м, $AC \approx 11.593$ м, $BC = 7.32$ м), мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла $\alpha = \angle BAC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$

Подставим значения:

$\cos(\alpha) \approx \frac{11.593^2 + 11.593^2 - 7.32^2}{2 \cdot 11.593 \cdot 11.593} = \frac{134.3956 + 134.3956 - 53.5824}{2 \cdot 134.3956} = \frac{215.2088}{268.7912} \approx 0.80065$

Теперь найдем угол $\alpha$, взяв арккосинус от полученного значения:

$\alpha = \arccos(0.80065) \approx 36.8^\circ$

Ответ: Угол «обстрела» равен примерно $36.8^\circ$.