Номер 220, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

220. Выясните, каким является треугольник с высотами, равными 3, 4 и 5: остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$, и $c$, а соответствующие им высоты, опущенные на эти стороны, — $h_a$, $h_b$, и $h_c$. По условию, высоты равны 3, 4 и 5. Пусть $h_a = 3$, $h_b = 4$ и $h_c = 5$.

Площадь треугольника $S$ может быть вычислена по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Таким образом, мы можем записать:

$2S = a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$.

Из этого соотношения мы можем выразить стороны треугольника через его площадь $S$ и известные высоты:

$a = \frac{2S}{h_a} = \frac{2S}{3}$

$b = \frac{2S}{h_b} = \frac{2S}{4}$

$c = \frac{2S}{h_c} = \frac{2S}{5}$

Мы видим, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам. Это означает, что наименьшей высоте соответствует наибольшая сторона. В нашем случае, наименьшая высота — $h_a = 3$, следовательно, сторона $a$ является самой длинной стороной треугольника.

Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), мы воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Нам нужно сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Сравним $a^2$ с $b^2 + c^2$:

• Если $a^2 < b^2 + c^2$, то угол, противолежащий стороне $a$, острый. Так как это угол напротив наибольшей стороны, все углы в треугольнике острые, и треугольник является остроугольным.
• Если $a^2 = b^2 + c^2$, то угол, противолежащий стороне $a$, прямой, и треугольник является прямоугольным.
• Если $a^2 > b^2 + c^2$, то угол, противолежащий стороне $a$, тупой, и треугольник является тупоугольным.

Подставим выражения для сторон через $S$:

$a^2 = \left(\frac{2S}{3}\right)^2 = \frac{4S^2}{9}$

$b^2 + c^2 = \left(\frac{2S}{4}\right)^2 + \left(\frac{2S}{5}\right)^2 = \frac{4S^2}{16} + \frac{4S^2}{25}$

Так как $4S^2$ является положительным общим множителем, для сравнения нам достаточно сравнить $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{16} + \frac{1}{25}$.

Вычислим сумму:

$\frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{25}{400} + \frac{16}{400} = \frac{25 + 16}{400} = \frac{41}{400}$.

Теперь сравним $\frac{1}{9}$ и $\frac{41}{400}$. Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 400 = 3600$:

$\frac{1}{9} = \frac{400}{3600}$

$\frac{41}{400} = \frac{41 \cdot 9}{400 \cdot 9} = \frac{369}{3600}$

Так как $400 > 369$, то $\frac{400}{3600} > \frac{369}{3600}$, и, следовательно, $\frac{1}{9} > \frac{41}{400}$.

Это означает, что $a^2 > b^2 + c^2$.

Поскольку квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, угол, лежащий напротив этой стороны, является тупым. Таким образом, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольным.