Геометрия 3D, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

Задание. Дана прямая треугольная призма (ее боковые грани — прямоугольники), в основании которой лежит треугольник со сторонами 5 см и 6 см. Косинус угла $ \alpha $ между ними равен $ 0,6 $ (рис. 182). Большая по площади боковая грань призмы является квадратом.

Найдите:

а) площадь боковой поверхности призмы;

б) площадь полной поверхности призмы.

Рис. 182

Для решения задачи сначала найдем все параметры призмы: стороны основания и высоту.

1. Нахождение третьей стороны основания.

В основании призмы лежит треугольник $ABC$. По условию, две его стороны равны $AB = 5$ см и $AC = 6$ см, а косинус угла $\alpha$ между ними $\cos \alpha = 0,6$. Третью сторону $BC$ найдем по теореме косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$

$BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 0,6$

$BC^2 = 25 + 36 - 36$

$BC^2 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, стороны треугольника в основании равны 5 см, 6 см и 5 см.

2. Нахождение высоты призмы.

Призма прямая, ее боковые грани — прямоугольники. Площадь боковой грани равна произведению стороны основания на высоту призмы $h$.

Площади боковых граней:

• $S_{ABB_1A_1} = AB \cdot h = 5h$
• $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot h = 6h$
• $S_{BCC_1B_1} = BC \cdot h = 5h$

По условию, бóльшая по площади боковая грань является квадратом. Бóльшая грань соответствует самой длинной стороне основания, то есть $AC=6$ см. Следовательно, грань $ACC_1A_1$ — самая большая, и она является квадратом. У квадрата все стороны равны, поэтому высота призмы $h$ равна стороне основания $AC$.

$h = AC = 6$ см.

Теперь мы можем найти требуемые площади.

а) площадь боковой поверхности призмы;

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$.

Найдем периметр основания:

$P_{осн} = AB + AC + BC = 5 + 6 + 5 = 16$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 16 \cdot 6 = 96$ см².

Ответ: 96 см².

б) площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Найдем площадь основания. Для этого используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$. Нам известен $\cos \alpha = 0,6$. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$\sin^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Поскольку $\alpha$ — угол в треугольнике, его синус положителен: $\sin\alpha = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Теперь вычислим площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 0,8 = 15 \cdot 0,8 = 12$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 96 + 2 \cdot 12 = 96 + 24 = 120$ см².

Ответ: 120 см².