Номер 228, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

228. Решите треугольник, у которого известны:

a) $a = 4, b = 5, \gamma = 30^\circ;$

б) $a = 1, b = 2, \gamma = 45^\circ;$

в) $a = 8, \beta = 60^\circ, \gamma = 50^\circ;$

г) $b = 10, \beta = 100^\circ, \gamma = 32^\circ;$

д) $a = 4, b = 5, c = 6;$

e) $a = 50, b = 40, c = 20.$

а) Дано: $a = 4$, $b = 5$, $\gamma = 30^\circ$. Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).

1. Найдём сторону $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ = 16 + 25 - 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 41 - 20\sqrt{3}$
$c = \sqrt{41 - 20\sqrt{3}} \approx 2.52$

2. Найдём угол $\alpha$ по теореме синусов. Рекомендуется находить угол, противолежащий меньшей из двух известных сторон, так как он точно будет острым.
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} \approx \frac{4 \cdot \sin 30^\circ}{2.52} = \frac{4 \cdot 0.5}{2.52} = \frac{2}{2.52} \approx 0.7937$
$\alpha = \arcsin(0.7937) \approx 52.48^\circ \approx 52^\circ 29'$

3. Найдём третий угол $\beta$ из свойства о сумме углов треугольника ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$):
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 52.48^\circ - 30^\circ = 97.52^\circ \approx 97^\circ 31'$

Ответ: $c \approx 2.52$, $\alpha \approx 52^\circ 29'$, $\beta \approx 97^\circ 31'$.

б) Дано: $a = 1$, $b = 2$, $\gamma = 45^\circ$. Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).

1. Найдём сторону $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 45^\circ = 1 + 4 - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 - 2\sqrt{2}$
$c = \sqrt{5 - 2\sqrt{2}} \approx 1.47$

2. Найдём угол $\alpha$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} \approx \frac{1 \cdot \sin 45^\circ}{1.47} \approx \frac{0.707}{1.47} \approx 0.481$
$\alpha = \arcsin(0.481) \approx 28.76^\circ \approx 28^\circ 46'$

3. Найдём угол $\beta$ из свойства о сумме углов треугольника:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 28.76^\circ - 45^\circ = 106.24^\circ \approx 106^\circ 14'$

Ответ: $c \approx 1.47$, $\alpha \approx 28^\circ 46'$, $\beta \approx 106^\circ 14'$.

в) Дано: $a = 8$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 50^\circ$. Это случай "сторона и два прилежащих угла" (ASA).

1. Найдём третий угол $\alpha$ из свойства о сумме углов треугольника:
$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 60^\circ - 50^\circ = 70^\circ$

2. Найдём стороны $b$ и $c$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{8}{\sin 70^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 50^\circ}$

Вычисляем сторону $b$:
$b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 8 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 8 \cdot \frac{0.8660}{0.9397} \approx 7.37$

Вычисляем сторону $c$:
$c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = 8 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 8 \cdot \frac{0.7660}{0.9397} \approx 6.52$

Ответ: $\alpha = 70^\circ$, $b \approx 7.37$, $c \approx 6.52$.

г) Дано: $b = 10$, $\beta = 100^\circ$, $\gamma = 32^\circ$. Это случай "два угла и сторона" (AAS).

1. Найдём третий угол $\alpha$ из свойства о сумме углов треугольника:
$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 100^\circ - 32^\circ = 48^\circ$

2. Найдём стороны $a$ и $c$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{a}{\sin 48^\circ} = \frac{10}{\sin 100^\circ} = \frac{c}{\sin 32^\circ}$

Вычисляем сторону $a$:
$a = b \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = 10 \cdot \frac{\sin 48^\circ}{\sin 100^\circ} \approx 10 \cdot \frac{0.7431}{0.9848} \approx 7.55$

Вычисляем сторону $c$:
$c = b \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = 10 \cdot \frac{\sin 32^\circ}{\sin 100^\circ} \approx 10 \cdot \frac{0.5299}{0.9848} \approx 5.38$

Ответ: $\alpha = 48^\circ$, $a \approx 7.55$, $c \approx 5.38$.

д) Дано: $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$. Это случай "три стороны" (SSS).

Для нахождения углов используем теорему косинусов. Найдём все три угла.

1. Найдём угол $\alpha$:
$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75$
$\alpha = \arccos(0.75) \approx 41.41^\circ \approx 41^\circ 25'$

2. Найдём угол $\beta$:
$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = 0.5625$
$\beta = \arccos(0.5625) \approx 55.77^\circ \approx 55^\circ 46'$

3. Найдём угол $\gamma$:
$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0.125$
$\gamma = \arccos(0.125) \approx 82.82^\circ \approx 82^\circ 49'$

Проверка: $\alpha + \beta + \gamma \approx 41.41^\circ + 55.77^\circ + 82.82^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 41^\circ 25'$, $\beta \approx 55^\circ 46'$, $\gamma \approx 82^\circ 49'$.

е) Дано: $a = 50$, $b = 40$, $c = 20$. Это случай "три стороны" (SSS).

Сначала проверим неравенство треугольника: $40+20 > 50$ ($60 > 50$), $50+20 > 40$ ($70 > 40$), $50+40 > 20$ ($90 > 20$). Неравенства выполняются, треугольник существует.

Для нахождения углов используем теорему косинусов.

1. Найдём угол $\alpha$, противолежащий наибольшей стороне $a=50$ (это может быть тупой угол):
$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{40^2 + 20^2 - 50^2}{2 \cdot 40 \cdot 20} = \frac{1600 + 400 - 2500}{1600} = \frac{-500}{1600} = -\frac{5}{16} = -0.3125$
Поскольку косинус отрицательный, угол $\alpha$ тупой.
$\alpha = \arccos(-0.3125) \approx 108.21^\circ \approx 108^\circ 13'$

2. Найдём угол $\beta$:
$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{50^2 + 20^2 - 40^2}{2 \cdot 50 \cdot 20} = \frac{2500 + 400 - 1600}{2000} = \frac{1300}{2000} = \frac{13}{20} = 0.65$
$\beta = \arccos(0.65) \approx 49.46^\circ \approx 49^\circ 28'$

3. Найдём угол $\gamma$ из свойства о сумме углов треугольника:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 108.21^\circ - 49.46^\circ = 22.33^\circ \approx 22^\circ 20'$

Ответ: $\alpha \approx 108^\circ 13'$, $\beta \approx 49^\circ 28'$, $\gamma \approx 22^\circ 20'$.